(B) 



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Ricordando che fra le x, £, y, t, sussistono le relazioni : 



' a ,J_2 a ,J = l,2|« — J5 = l f 2^-^ = 1, 2^-^ = 1 

 2^1- — .27 ( ^ o = 0, 2£^, : — £ ?7 = 0, ecc. 



e che l'elemento lineare dello spazio iperbolico è dato dalla forinola 



indicando con ds' l'elemento d'arco della trasformata C' della C, dalle (2) seguirà 

 facilmente l'equazione 



ds~ „ „,,/ 1 \- 9 fdd 1 \ 2 ,. JdO 1 v 



(3) — =- = l-f-sen/rcrsen-t7( IH -f-sen/ra 1 — — 2sen/<acos/*asen#X 1 — )• 



x ' ds i \ TJ \ds p) \ds p) 



Se ora poniamo la condizione che la corrispondenza tra le due curve abbia luogo 

 per eguaglianza d'archi, che si abbia cioè ds^ds, dovrà evidentemente 6 soddisfare 

 l'equazione': 



(— -+■ -)"—2cotha sen0 (— -4--Ì -+- (l -+-=sì seira" = 0, 

 \ds pj \ds p) \ T'I 



o l'equivalente che immediatamente se ne deduce 



dd 1 ,. 



(4 — = t-Asend, 



ds p 



ove si è posto per semplicità 



(C) A = cotha-+-\/ -r, -g. 



v ; V sen /ro- T 2 



Andiamo ora a dimostrare che per ogni valore di 6 che soddisfi la (4), le (1) 



rappresentano una curva della stessa torsione costante — della primitiva. 



A tale oggetto cominciamo col determinare i coseni direttori della tangente alla C' 

 nel punto M', pei quali, osservando le (2) e avuto riguardo alla (C), seguiranno imme- 

 diatamente i valori : 



, . ,., Q , , <,,,.<. , ,, -, senha send^ 

 (5) e, =se\macoso-x-i-(cosha — .4 sen«asen-a)£-H .4 sen«cr sene/cosa-^ — — u, 



ove per semplicità abbiamo omessi gì* indici. 



Derivando queste forinole e avendo presente la (.4) e la (C) e ricordando che 

 ds = ds' , troveremo facilmente le altre: 



P 



di,' (senhasend „ \ 



(6) — r = ( - 2.4 senha seira -+- cosha \x 



ds \ p ) 



I a Asenha senO cosd l0 , n -A,. 



( senha cosu n A"sen«o'seiiasen2a )t -+■ 



/senha — Asenhacos-6 n senha send\ 



( 1- A' senha sena cos2a 5 >; 



\ p T~ I 



P 



1 /senha cosa" ,A „ 



Asenha sen2o \l 



T 



