SULLE CURVE A DOPPIA CURVATURA 

 IN GEOMETRIA ELLITTICA 



MEMORIA 



DEL 



PROF. aMILe^RE RflZZAB0NI 



(letta nella Sessione del 24 Maggio 1908) 



1. Supposta per semplicità uguale ad 1 la curvatura dello spazio ellittico a tre 

 dimensioni che consideriamo, sia C una curva definita mediante le coordinate di Weier- 

 strass, cioè mediante quattro variabili os Q , x v , a?,, x 3 legate fra loro dalla relazione 



9 9 9 9 , 



X^ — | OC y H — OG.± | X i 1 \ 



avremo allora, come è noto, per il quadrato del suo elemento lineare la forinola : 



d$~ =. dx\ -+- dx\ -+- dx\ -+- dx\ . 



Eguagliando a zero la variazione prima dell' integrele ids , che esprime la lunghezza 



delle infinite curve dello spazio aventi gli stessi estremi nei punti xf\ a?) 1 ' corrispon- 

 denti ai valori s , s, di s, si trovano facilmente l'equazioni: 



■^ + *i = (i = 0, 1, 2, 3), 



che, integrate, danno subito luogo alle altre in termini finiti : 



x t = x\ Q] coss -+- £j 0) sens , 



che sono quelle delle geodetiche (rette) dello spazio che consideriamo. In esse la s 

 potrà assumere qualunque valore reale fra o e n ovvero fra o e 2ji, secondo che il 

 nostro spazio sarà considerato semplice o doppio, mentre le costanti xf\ £j 0) non sono 



altro che i valori di a? t - e — - corrispondenti ad s — . 



ds 



Se dunque x { sono le coordinate di un punto dato e §j- i coseni di una direzione 



per quel punto, per esso e in quella direzione passerà una retta ed una sola le cu ; 



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