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per conseguenza potremo scrivere le formole : 



(17) x { p = cos r(ocì -t- i ?i p — T-£ 1,\ 



che sono appunto quelle che volevano determinare '*>. 



Potremo dare ad R un' altra espressione che importa notare e che si ottiene subito 

 eliminando la io dalla (16) per mezzo della (11), con che si ha 



(18) tmerR = p? + (T d £). 



4. Fra tutte le sfere che passono per un punto dato di una curva, ve ne ha una 

 che in un intorno piccolissimo di esso si scosta meno delle altre e che perciò diremo 

 sfera osculatrice della curva. Ne determineremo ora il centro e mostreremo che esso 

 coincide precisamente col punto di contatto deir asse polare col suo inviluppo, cosicché 

 il raggio di detta sfera non sarà altro che la distanza fra i punti corrispondenti delle 

 due curve considerate. Se indichiamo infatti con a?| 0) le coordinate del centro di una 

 sfera qualunque per Afe con R il raggio, potremo rappresentarla per la (3) coli' equazione 



(19) locf ) X i = cosR 



denotando Xi coordinate correnti. Se ora M' è un punto della curva vicinissimo ad M 

 e se ne indichiamo con R' la distanza dal centro, avremo 



cos R' = Sayj'-'ay^s -1- As) 



ove As rappresenta un accrescimento piccolissimo dell' arco s, ovvero, sviluppando 

 osì(s -+- As) per le potenze di As , 



l0) dau Af y (0 , <Focì ^ 2 ,o,^ 

 ds 2 ' ds 2 6 ' ds 3 



(20) cos R' = cosR-h- Aslsc^-^ -+- — 2«[ 0) —J ■+- — 2af > 

 avuto riguardo alla forinola 



(21) cos R=Y,xf 'ooì 



che esprime che il punto M si trova sulla superficie della sfera, e rappresentando e 

 un infinitesimo del 4° ordine. 



Se dunque poniamo l'equazioni di condizione 



(.22) Zx t ds -0, 2>x t ^ _0, 2,^ __0, 



potremo determinare da esse le coordinate .«j 0) del centro della nostra sfera e per la 

 (21) il raggio; ma poiché le (22) coincidono manifestamente con la (a), (b), (e) del 

 n.° precedente, ne segue che i corrispondenti valori delle dof ] saranno precisamente 

 quelli espressi dalle (17); mentre per il raggio R della sfera avrà luogo la (18), che cor- 



( *' Cfr. Killing, Ueber nicht euklidische Geometrie. 



Serie VI. Tomo V. 30 



