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 E poiché si ha identicamente per le (17) 



2ajj°W,- = cos R , 



ne concludiamo che la curva giace sulla sfera fissa 



lxf ] Xi = cos li 



e che per couseguenza la 2" delle (a) è l'equazione caratteristica delle curve sferiche 

 anche nello spazio ellittico. 



5. Passiamo ora a risolvere le questioni relative alle evolute e alle evolventi delle 

 curve rispetto alle quali manterremo invariate le ordinarie definizioni. 



Incominciando dalla seconda delle accennate questioni, sia C una curve data, x { le 

 coordinate di un punto mobile M di essa ed x\ quelle del punto corrispondente M' di 

 una sua evolvente C' : avremo evidentemente 



(26) x\ = Xi cos s — £,• sen s 



ove s indica la lunghezza dell'arco della C contato nel senso degli archi crescenti. Da 

 questa si ha, derivando e facendo uso delle formole del Frenet, 



—— = sen s 



ds o 



da cui 



ds = - 

 P 



, sens 

 ds = ds 



e quindi 



-r dx, 

 (27) t = 1 f = -«: 



Possiamo anche facilmente vedere che tutte le co' evolventi determinate dalle (26) 

 sono traiettorie ortagonali delle tangenti alla C. 



Per questo determiniamo i coseni direttori della M'M nel punto M' ; chiamandoli 

 À[ ed osservando che la lunghezza M'M è eguale ad s, avremo 



x; = x\ cos s -+- A [ sen s 



da cui, sostituendo ad x\ i loro valori (26) 



A] = x { sen s -+- %i cos s 

 e quindi per le (27) 



2£[ A\ = — sens Sx^i — coss E § ; -^ t - = . 



Proponiamoci ora inversamente di determinare le evolute C di una curva data C. 

 Mantenendo ferme le consuete notazioni, dovremo esprimere che la il/A/"' è al tempo 

 stesso normale alla C in M e tangente alla C' in M'. 



Indicando perciò con z la lunghezza del segmento MM' e con a l'angolo che il 



