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da cui 



cos a sen % da 1 



cos x = , — = — 



p ' ds T 



e finalmente 



f dk cos a 

 a — I — , cot x = : 



sicché il problema si risolve con una quadratura per mezzo delle formole : 



(28*) x\ = (a;, -1- py,) cos a -h /7? £ sen a , . 



1/ />--+- cos a ' ) 



Possiamo facilmente vedere che tutte le ce 1 evolute di una curva giacciono sulla 

 sviluppabile polare della curva stessa. Consideriamo infatti una qualunque delle evo- 

 lute (28*), nelle quali alla costante arbitraria contenuta in a. intenderemo attribuito 

 un valore determinato, e sostituiamo a p il suo valore tangw?: avremo quindi 



x \ = — = ) (x L costo -+- }?i senio) cos a -+- t t sen a seme ' , 



l/sen 2 w -+- cos 2 a cos 2 w f I 



ovvero 



(29) x\ = (x i cos io -i- 12 1 sen w ) cos t ■+- Ki sen t 



avendo posto 



cos a sen a sen io 



cos t — — , sen t = 



l/se.rfio -+- cos 2 a cos'ho \/sen 2 w -+- cos 2 a cos 2 w ' 



ma la (29) per un determinato valore di w è l' equazione dell' asse polare corrispon- 

 dente, sicché vediamo che la nostra curva giace tutta sulla sviluppabile polare ed 

 incontra le singole generatrici ad una distanza t dal centro di curvatura data dalla 

 forinola 



(30) tang t = tang a sen w . 



Nel caso che l' evolvente sia piana, dovendo allora essere — = , ne segue che 



sarà a costante e le corrispondenti evolute saranno tutte rappresentate dalla (29): fra 

 queste vi sarà revoluta piana (corrispondente al valore zero di ti), e poiché la svilup- 

 pabile polare è in tal caso l'insieme delle normali al piano dell'evolvente lungo la sua 

 evoluta piana, ne segue che tutte le altre evolute verranno a trovarsi su detta superficie. 

 Volendo determinare l' angolo sotto il quale le diverse evolute incontrano le gene- 

 ratrici della sviluppabile considerata, deriviamo le (i9) rispetto a w e, avuto riguardo 

 alla (30), otterremo : 



dx, I dt 



— — oc, ( — sen io cost t — cos io sen t — 

 dio \ dio 



dt \ „ dt 



I dt \ dt 



vi, ( cos io cos t sen io sen t) -+- L,i — cos t 



\ dio I ' dio 



