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da cui, quadrando e sommando ed osservando che si ha per la (30) 



dt sen a cos a cos io 



dw senato -+- cos 2 a cos\o ' 

 troveremo dopo alcune riduzioni 



dcc[\ 2 cos 2 a 





i) (sen~w -+- cos a cos~io)- 

 Detto quindi ds { V arco elementare di una qualunque delle evolute considerate, avremo 



cos adw 

 ds, = 



sema -+- cos'a cos'io 

 e pei coseni di direzione della tangente 



dx, sen w cos 2 a sen w 



— — = x t h == /^ 



ds j [/sen'w -+- cos 2 a cos 2 w \/scn 2 io -+- cos 2 a cos 2 io 



sen a cos a cos w 



3 a — '* ' 



{/sexrw -+- cos 2 a cos 2 w 



Pei coseni di direzione della generatrice della sviluppabile polare nel punto ove essa 

 è incontrata dall'evoluta, dovremo derivare le (29) rispetto a t e sostituire poi alla 

 variabile stessa il valore (30) che ha al punto d' incontro e troveremo subito 



dx\ _ sen a sen w cosw sen a sen 2 io 



dt [/senho -+- cos~a cos'ho |/sen\o -+- cos 2 a cos'ho 



cosa 



v=C 



[/ seri 2 io -+- cos 2 a cos 2 io 

 Sostituendo finalmente nella forinola 



cos0 = 2j^— -vr 



ds ì dt 



che misura l'angolo delle due direzioni considerate, avremo l'espressione semplicissima 



cos (p = sen a cos w . 



6. Mostriamo ancora come possa risolversi il problema della determinazione delle 

 curve che hanno le normali principali comuni e come esso non differisca essenzialmente 

 dal corrispondente in geometria euclidea. 



Siano infatti C e C' due curve che soddisfino alle condizioni volute e siano M, M' 

 due punti corrispondenti ; allora, indicando con K la porzione di normale principale 

 compresa fra le due curve, avremo l' equazioni : 



(31) co\ = os i cos I+^j sen K , 



