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che non può essere zero. Quest'equazione, avuto riguardo ai valori di F' e G' dati 



dalle (3), si semplifica nella 



du 

 do = — , 

 x 



da cui 



Jdu 



avendo indicato con v la funzione arbitraria proveniente dall' integrazione. 

 L'elemento lineare (4) si riduce così alla forma ortogonale 



ds 2 = Edu 2 -+- Gdv 2 

 con 



/ , senhacoso\ 2 „ 



(5) E = (cosna 1, 6r = senha, 



e questo prova che i cerchi u sono geodetiche della superficie e quindi linee di cur- 

 vatura come deve essere. Indicando con p 1 il relativo raggio di curvatura, abbiamo 

 evidentemente 



(6) p 1 = tgha, 



mentre per determinare quello relativo alle v faremo uso delle formole (Bianchi, 

 Lezioni di Geom. diff. Voi. I, pag. 499) : 



1 1 \ ò\ogy/~E D / 1 , 



p ì pj ito ìv \p 



, i i \ aiogV^ d / 1 \ 

 1 1 (D / i ^V^\ <> / x d\/e 



P\Pi \/EG ftu\y/E .Dm / Dw \y<? Dy 



di cui le prime due sono le note equazioni di Codazzi e la terza è quella di Gauss. 

 Osservando la (5) e ricordando che p 1 è costante, si vede subito che la 2 a delle (A) 

 è identicamente soddisfatta ; mentre la 3 a si riduce alla 



cotti a _ 1 1 Ò'\/E 



p senh 2 ai/^ Dy 2 



da cui 



coso 



1 



p 9 / senh a coso 



z cosha ( cosha 



\ P 



tgh a 



