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dove con q è indicato genericamente l' angolo parallattico del Sole ( *>. 



La dimostrazione della formula del Cagno li si fa di solito mediante una costru- 

 zione geometrica che per maggior chiarezza indicherò brevemente ( **'. 



Rappresentiamo (flg. 1) con HS H' l'oriz- 2 



zonte e con KS K' 1" almucantarat corrispon- 

 dente alla depressione HK-=.c. Per un dato 

 giorno sia S il punto dove il Sole tramonta 

 e S il punto corrispondente alla fine del cre- 

 puscolo. Si traccino i circoli orari e i verticali 

 dei due punti S {) e S i . È noto che nel caso jr 

 del crepuscolo minimo si ha 



Rng PS l Z=a,TigPS Z. 



Ciò posto, si prenda sul verticale ZS X , a 

 partire dallo zenit, l'arco ZQ = VS l =c, e si 

 tracci il circolo orario del punto Q. I due 

 triangoli sferici PS fi , PS Q Z sono uguali e 

 congruenti fra loro: infatti, oltre all'eguaglianza degli angoli parallattici, si ha 



Fif 



PS Y = 90°— d = PS Q 



Dunque sarà 



e di qui segue 



PQ = PZ= 90° 







QS l = 90° = ZS . 



a.ngZPS = ang QPS { 



ang ZPQ = ang S Q PS l = t l — t 



Allora il triangolo sferico isoscele ZPQ dà 



cos e — sin ~0 

 cos {t x — t ) — 



Ne segue 



1 — cos (t } 



1 



cos 2 ^5 



Q = 2sm'-{t l - r t )=l 



cose 



sin'tp 



cos 2 (p 



ossia 



2 8ìn 1 -(< 1 — t ) = 



1 — cos e 

 cos 2 <fi 



2 sin"— e 

 o 



cos 2 (p 



(*' Rimando al luogo citato di D'Arrest per la dimostrazione della relazione (III) e della for- 

 mula del Bernoulli. Ivi sono date indicazioni storiche e bibliografiche sul problema del crepuscolo 

 minimo, che fu celebre nel secolo XVIII, e altre se ne trovano presso R. Wolf, Handbuch der Astro- 

 nomie, ihrer Geschichte und Litteratur, Zurigo, 1890-93, voi. I, pag. 477. 



(**) Cfr. F. T. Schubert, Traité d'Astronomie théorique (Hamburg, 1834, voi. I, pag. 138). 



