Rev. T. P. Kirkman on Bisignal Univalent Imaginaries. 297 



= w yy + a& n + b\ + cc u + dd M + ee n +ff u + gg u + hh u + ii fl 

 + kk u + 11 u -f mm u -f wn y/ + oo yy +^p y/ ; 

 from the congruity of which must follow at once 



(w 2 + a 2 + b 2 + c 2 +... + p 2 ).(w y 2 + a ; 2 + b / 2 + c / 2 4-...+p / 2 ) 



The values of a and /r, for example, given by the triplets, are 



a = bc = de =fg = (hi) = (hi) = (w w) = (op), 

 k=la = bh = ic = do =pe =fm =gn ; 



where the bisignals are bracketed for distinction, as are also 

 the terms introduced by them in the sixteen functions following: 



w y/ =wv\ y — aa y — bb y — cc y — dd y — ee y — ff y — gg,— hh y — ii y — kk y 



U y — lnfflp nn y — oo y — pp y , 



a yy = aw y +wa y + bc ; — cb y + de y — ed y + fg / — gf y +(hi y --ih y ) 



-f (kl y — lk^+fmn,— nm y ) + (op y — po y ), 

 b yy = bw y -, L wb y + ca y — ac y + fd y — df y -f eg/— ge y + (hk y — kh y ) 



+ (li y -il y ) + (mo y --om y )-f(pn y -np y ), 

 c^cWj + wc^ + ab,— ba^ + dg,— gd y + ef, — fe, — (hl y — lh,) 



— (ik y — kij + (mp y - pm y ) -f (no y — on y ), 

 d^dwj + wd^ea,— ae y + bf y — fb y + gc y — cg y +(hm y — mh y ) 



-K-ni / )-(ko / ~ok / )+(lp/-pl / ), 

 e y/ = ew y + we y + ad y — da y + gb y — bg y + fc y — cf y +(hn / — nh y ) 



+ (im y — mi y )-f (kp y -pk y ) +(lo y -ol y ), 

 f /y = fw y + wf y + ga y — ag y — bd y + db y + ce y — ec y — (ho y — oh y ) 



+ (ip i -pi i ) + (ln i -nl / )-(km i -mk i ), 



g/i=g w / + w g/ + af l —fa / + be /~ eb / + ccl y~ dc i+( n Py""P n i) 

 -f (io y —oi y ) — (kn y — nk y ) — (lm y — ml y ), 



h yy =hw y + wh y -f-ia y — ai y + kb y — bk y + cl y — lc +md — dm y 



+ ne / -en / + fo y -of y + pg y -gp y , 

 i y/ =iw y + wi y + ah y — ha y + bl y — lb y + ck y — kc y -fdn y — nd y 



+ me y -em / +pf y -fp y -fog y -go y , 

 k yy =kw y + wk y + la y — al y + bh y — hb y + ic y —ci y + do y — od y 



+ pe y -ep y + fm y -mf y + gn / -ng / , 

 l yy = lw y + wl y + ak y — ka y + ib y — bi y + hc y — ch y + pd y — dp y 



+ oe / -eo / + nf y -fn y -fgm / -mg yJ 



