SULLE DERIVATE AD INDICE QUALUNQUE 



MEMORIA 



DEL 



PROF. SALVATORE PINCHERLE 



(letta nella Sessione del 15 Dicembre 1901). 



I. — Considerazioni preliminari. 



1. L'idea di estendere i! concetto di derivata al caso in cui l'indice 

 di derivazione non sia intero, positivo o negativo, risale ai primordi del 

 Calcolo differenziale : da allora in poi, vari autori si sono sforzati di co- 

 struirne la teoria, Fra i tentativi che sono stati fatti in proposito, meritano 

 in special modo di essere ricordati quelli del Liouville, del Riemann, 

 del Tardy e dell' Ho 1 m gre m. Però, tutti questi tentativi lasciano qual- 

 che cosa a desiderare nel loro punto di partenza, per l'arbitrarietà con 

 cui danno la generalizzazione di derivata ad indice non intero. Cosi il 

 Liouville '*' vede questa generalizzazione nella estensione della formula 



valida per s intero, ad ogni altro valore di s, e se ne serve per definire 

 la derivata d' indice s per ogni funzione sviluppabile in serie di esponen- 

 ziali : lasciando cosi adito, come ognuno vede, a serie obbiezioni circa 

 l'applicazione della proprietà distributiva del simbolo D s ad una somma 

 di infiniti termini. Il Riemann, in una nota postuma '**', considera lo 



sviluppo di f(oc-\-h) in serie di potenze h s ~*~ n , s non intero, (n = 3, 



— 2, — 1, 0, 1, 2, . . .) e chiama derivata d'ordine t il coefficiente di h* in 

 questo sviluppo, all' infuori di un fattore indipendente da x e dalla fun- 

 zione f(x), dipendente invece da s. Anche questa definizione presenta al- 



l') Journal de V École Polytechnique, Cahier 21. 

 (.**) Werke, p. 331 (ed. Dedekind. e Weber). 



