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cunché di arbitrario, ed il lavoro giovanile del grande ma tematico offre 

 non poche imperfezioni, sebbene vi si trovino osservazioni geniali e degne 

 del nome del suo Autore : fra cui si può notare per incidenza una difesa 

 delle serie divergenti che potrebbe servire di epigrafe ai lavori del Borei 

 e degli altri geometri moderni che, in questi ultimi anni, hanno rivendi- 

 cato i diritti di tali serie. Infine l'Holmgren nella sua voluminosa me- 

 moria ( *>, ed altri, assumono a priori un integrale definito come definizione 

 della derivata d'indice s; in generale sotto la forma 



forma che si trova anche nel lavoro di Riemann, e di cui più recente- 

 mente ha fatto uso l'Hadamard nelle sue notevoli ricerche sulla serie 

 di Taylor '**>. 



2. I principi del calcolo delle operazioni permettono di riprendere la 

 questione, ponendola in termini più precisi : limitandola tuttavia, come é 

 naturale, alle funzioni analitiche. La prima domanda che si presenta é la 

 seguente: Quale sarà il modo più naturale di definire l'operazione D s , per 

 un valore qualunque dell' indice s, per le funzioni analitiche od i rami 

 monogeni di funzioni analitiche regolari dati nel piano della variabile com- 

 plessa x in una stessa stella di Mi ttag-Lef f 1 e r di vertice x = OÌ 



Per rispondere nel modo più conveniente a questa domanda, converrà 

 passare in rassegna le proprietà dell'operazione D m per il caso di m in- 

 tero e positivo. Queste proprietà sono le seguenti : 



a) L'operazione D m è definita, in modo unico, per ogni funzione 

 analitica. 



b) L'operazione D m è distributiva, cioè 



(***; 



D m (<p -+- ip) = D m (p -f- D m ip, D m arp = aD m (p 



e) Si ha 



DD m = D m - + - 1 , 



da cui segue che le operazioni D m , per i vari valori interi positivi dell'in- 

 dice, formano un gruppo discontinuo commutabile, e che per m, 

 n interi positivi vale la cosidetta legge degli indici, espressa dalla formula 



rym ryn r\m-+-n 



(*) Om differentialkalkylen med indices af hvilken natur sam helst. (Svenska vetenskaps-Akad. 

 Handlingar, Bd. 5, N. 11). Stockholm, 1866. 



(**) Journal de Math., S. IV, T. Vili, 1892. 



(***) Le lettere greche rappresentano funzioni analitiche, le latine rappresentano numeri (costanti 

 o variabili). 



