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d) Si ha infine una legge eli formazione eli D m ((pip) mediante le ope- 

 razioni D" eseguite sopra (p e ip, (n < m) ; legge di cui basterà conside- 

 rare il seguente caso speciale 



D m (xf) = xD m Cp -+- mD m - 1 (p . 



3. Le quattro proprietà ora enumerate per l'operazione D" 1 (m intero 

 positivo) sono evidentemente indipendenti l'ima dall'altra. Però esse ri- 

 sultano dalle seguenti tre proprietà attribuite all'operazione D : 



a) di essere definita univocamente per ogni funzione analitica, 



b) di essere distributiva, 



e) di soddisfare alla proprietà 



D(x(p) = xD(p -+- <p ; 



quando a queste proprietà, manifestamente indipendenti, si aggiunga la 

 definizione ricorrente di D m data da 



D m = DB m ~\ 



si hanno tutte e quattro le proprietà del § precedente. 



4, Una prima estensione, affatto ovvia, si ha per il caso di un indice 

 ancora intero, ma nullo o negativo. Codesta estensione si ha ne! modo più 

 naturale conservando la legge degli indici, cioè dando ad m, nella for- 

 mula del § 3, e) successivamente i valori 0, — 1, — 2,..., e assumendo, 

 come definizioni di D"\ D~ 2 , D~~ 3 , ... le uguaglianze che in tal modo 

 si ottengono. Con ciò il gruppo viene ad estendersi: esso contiene ora 

 l'operazione identica ed ogni sua operazione vi ammette la propria in- 

 versa. 



Ma le operazioni che si introducono con questa prima estensione go- 

 dono esse pure di tutte le proprietà del § 2? 



a) Sia m un numero intero positivo. L'operazione D~ m ha signifi- 

 cato per ogni funzione analitica, ma non unico : da una sua determina- 

 zione se ne deduce un'altra coli' aggiunta di un polinomio razionale intero 

 di grado m — 1, a coefficienti arbitrari. 



b) La proprietà distributiva vaie ancora per D~ m , nel senso che ogni 

 determinazione del primo membro di 



D~ m ((p -+- iP) = D~ m (p -+- B~ m i\i 



é contenuta nel secondo, e reciprocamente. In altre parole, D~ m (p non 

 rappresenta più una funzione, bensi una classe di funzioni, e i due mem- 

 bri dell'uguaglianza precedente rappresentano la medesima classe. 



