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 e) Nel medesimo senso va pure intesa l'uguaglianza 



DD~ m = D- {m ~ l) . 



d) Infine, ed intendendo sempre l'uguaglianza nel medesimo senso, 

 si trova facilmente che vale ancora la formula del § 2, d) ; talché il sim- 

 bolo operativo D s conserva il suo significato per ogni valore intero di s. 



5. Si tratta ora di cercare una estensione dell'operazione D s per ogni 

 altro valore dell' indice s. Considerando come caratteristiche le proprietà 

 enunciate al § 2, qualora ci riesca di definire, per l'intero campo delle 

 funzioni analitiche o per una porzione (2 di esso, una operazione (che 

 verrà rappresentata con A t ) la quale goda delle seguenti proprietà : 



a) di essere definita per ogni valore reale e complesso di s, e per 

 ogni funzione del campo Q, dando origine ad almeno una determinazione 

 appartenente al campo stesso, 



b) di essere distributiva, 



I) A s ((p +i)= A s ((p) -+- A s (ip) , 



e) di soddisfare all' equazione 



II) DA S _, ■= A s , 



d) di soddisfare all'equazione 



III) A g (x$) = xA s ((p)-hsA s _ ! , 



e) di ridursi, per s intero, alle D m precedentemente considerata; al- 

 lora diremo che nel campo (3 é definita la derivazione di indice s, e l'ope- 

 razione A s verrà designata in questo campo con D\ 



II. — Una soluzione particolare. 



6. Mostriamo anzitutto come il problema proposto nel § precedente 

 ammetta, in un campo speciale 6, una certa soluzione particolare perfet- 

 tamente determinata. 



A tale uopo, ammettiamo che per l'operazione A s , limitatamente alle 

 funzioni <fi di un certo campo funzionale, venga richiesto uno sviluppo 

 della forma 



(1) A s = X -+- sX x (<p) -4- s(s — ì)X 2 ((p) -f- • • • 



