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dove X , X,,... sono operazioni distributive da determinarsi; ed usando 

 di un processo d'interpolazione, facciamo che per s = 0, 1,2,..., la A a \<fi) 

 si riduca rispettivamente a (fi, Dfi , D 2 (p,... 

 Si soddisfarà a tale condizione facendo 



X (<fi) = <p, X x {(p) = Dfi — fi, l'2X 2 (<p) = D*(p — 2Dfi -+- fi 

 e cosi via. Ponendo per brevità 



E((p) = D<p — <p, 



si ha in generale 



X n = ±E»(fi); 



talché, indicando con la notazione (£) il rapporto — — ^ -, ot- 

 teniamo lo sviluppo 



co 

 n — 



Osservando poi che 



e -*E(e x <fi, = Dfi , onde e x E n {e x (p) = D"fi , 



lo sviluppo precedente si può ancora scrivere 



co 



(3) A s (fi) = e x Za)D»(e-*<fi) . 



»=o 



?. Vogliamo ora dimostrare l'esistenza di un campo funzionale Q, en- 

 tro il quale l'operazione A s definita dalla (3) gode di tutte le proprietà 

 indicate al § 5, ed in cui, per conseguenza, tale operazione deve riguar- 

 darsi come la derivazione di indice s. 



Questo campo si definisce come segue. 



Consideriamo la serie di potenze 



per la quale sia, essendo m ed r due numeri positivi ed r minor d'uno, 



(4) \a n \<mr n , (n = 0, 1, 2, . . .) 

 e che definisce pertanto una funzione intera. 



