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 Chiameremo campo funzionale (5 l'insieme di tutte le funzioni in- 

 tere (p{x) date da 



<p(x) — e x ip{x) . 



Su questo insieme di funzioni si possono fare le osservazioni seguenti : 



a) Se la serie ip(oo) ha coefficienti soddisfacenti alla (4), per ogni va- 

 lore x di x sarà 



(5) \D n ip(x )\<m'r n e r ^ 



essendo m 1 un numero positivo ; e reciprocamente, se la serie ip(x) sod- 

 disfa alla condizione (5) per un valore di x, essa vi soddisfarà per ogni 

 altro e in particolare per x = 0, e quindi e x ip(x) apparterrà a Q. 



b) Se due funzioni (p(x), <p Y {x) appartengono al campo (2, vi appar- 

 tiene anche la funzione 



c$(x) -+- e$ x {x) , 



e e e l essendo costanti arbitrarie. Il campo (2 costituisce dunque un in- 

 sieme lineare. 



e) Se una funzione <fi{x) appartiene a (2, vi appartiene anche la sua 

 derivata. 



8. Se ora sostituiamo nella (3) una funzione <p(x) — e x ip(x) apparte- 

 nente a (2, segue dalla (5) che lo sviluppo di A s risulta uniformemente ed 

 assolutamente convergente in ogni area finita del piano della variabile x, 

 e come tale rappresenta una funzione trascendente intera o(x). Questa 

 funzione appartiene pure a (2, poiché, posto 



a(x) = e x n{x) , 

 si ha 



oo 



ka>)=2(v*)0 v #, 



v = 



e quindi 



oo 



D?n(x) = 2(v)^" H > ; 



v-0 



ora, per la (5), viene 



v = o L.6...V 



talché, per essere r < l , la nix) soddisfa alla condizione (5) e quindi o(x) 

 appartiene a (2. 



