— 751 — 

 Si ha poi 



Infine, sostituendo x<fi ad x, si verifica senza difficoltà che 



E{x<p) — xE((p) = (p, 



E\x(p) — xE n ((p) — nE n ~\(p) , 

 da cui segue 



oo 



A s (x(p) — xA s ((p) =Za)nE«-X$) 



e confrontando colla (2), 



A s (x$) = xA s ((p) -+- sA s _ 1 {(p) . 



L'operazione A s soddisfa dunque alle quattro prime proprietà richieste nel 

 § 5. Per ogni <s intero positivo o nullo, essa si riduce a D s per la sua co- 

 struzione stessa. Per s = — m, m intero e positivo, si vede per mezzo di 

 un calcolo che non presenta difficoltà che la formula (3) dà una speciale 

 determinazione dell'integrale m upl ° di <p; se intendiamo che D~ m sia la co- 

 sidetta determinazione principale dell'integrale, la quale si ottiene appli- 

 cando termine a termine ad una serie di potenze le formule 



[)-m x n _ 



(n -+- 1 )(n+ 2) • • (n -t- m) ' 

 la (3) ci darà 



A_ m = D~ m H- g m _ 1 -+- g m _ 2 x h \- g 



x m — 1 



m — 1 ! 



le m costanti g , g iy ...g m —\ non essendo però arbitrarie, ma determinate 

 dalla funzione <p stessa. '*' 



(*) È facile vedere in qual modo siano formate queste costanti g , gi,--.g m —i) un calcolo sem- 

 plice dà g Q = a n — a l -ha ì — a 3 -{ , essendo la — il coefficiente di x n nello sviluppo di e~ x ^[x) ; poi 



g x — a — 2a l ■+- 3a 2 — 4a 3 , . . . , 



mfm-+-l) mfm-f- l)(m -+- 2) 

 g m - x — a^-~ ma x -i — — a i Y-2~^ò a3_1 



Risulta da ciò che l'operazione con cui da 9 si deduce il polinomio 



x 



m — 1 



g m - l -hg m - 2 x-\ i ~9o m _ 1 ; 



ha evidentemente carattere distributivo, e che questa operazione è di quelle considerate al § 197 della 

 mia opera (in collaborazione con U. Arnaldi) Le operazioni distributive (Bologna, Zanichelli, 1901) 

 e che fanno corrispondere alle funzioni di un insien e ad un numero infinito numerabile di dimen- 

 sioni, quelle di un insieme ad m dimensioni. 



Serie V. - Tomo IX. 94 



