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9. Concludiamo da ciò che l'operazione A s soddisfa anche alla quinta 

 condizione posta al § 5, di ridursi cioè alla derivazione d' indice s per s 

 intero e positivo, e ad una determinazione ben definita della D s per s in- 

 tero e negativo. Nel campo funzionale (2, il problema di dare significato 

 alla derivata d'indice qualunque.*? si trova dunque completamente risoluto. 



Questo modo di definire l'operazione D s , valido per il campo funzio- 

 nale (?, ci riconduce, con le dovute restrizioni, alla definizione del Liou- 

 ville; infatti, sia 



(p — e x er' x -+- c 2 e ZìX h -+- c v e*v* , 



dove è ]^-|<l, (i = 1, 2, . . . r). Applicando a (p l'operazione A s , si trova 

 immediatamente 



A s (p = c^[e z " x -+- e^le 2 - 00 -+-•••-+- c n z s n e ZnX , 



che coincide colla derivata d'indice s di (p nel concetto dei Liouville. 



10. Inoltre, nel medesimo campo (2 le operazioni A s formano un gruppo 

 commutabile. Infatti, se <p appartiene a Q, vi appartiene anche A s (<fi) (§ 8), 

 ed applicando ad A s (<p) l'operazione A t , si ha 



AfA s = A t _^_ s , 



cioè é soddisfatta la legge degli indici. In altre parole, il gruppo delle 

 operazioni A s in Q è simile al gruppo delle traslazioni rispetto al parame- 

 tro § ; come tale, esso gruppo ammette un'operazione infinitesima, che si 



ottiene prendendo il limite per s = di — ^ — , limite che si trova 



senza difficoltà essere rappresentato dall'operazione 



( — \Y~ 1 

 </-(?>) = 2- ^ E n p 



ovvero 



J((p) = e x ^~ D n {e~ x (p) . 



Anche questa operazione ha senso unico e determinato per qualsivoglia 

 elemento (p di Q ; posto infatti come al § 7 



(p(x) = e x i\i{x) 



e ritenute le ipotesi e relazioni di quel § medesimo, si ha 



\D n {e~ x (p)\ mr n e r]xì , 



