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onde JCp) risulta convergente assolutamente ed uniformemente in ogni 

 campo finito di valori di se, e come tale rappresenta una funzione anali- 

 tica intera; come la § 8, si dimostra che questa funzione appartiene essa 

 pure all'insieme (?. 



III. — Ricerca della soluzione generale. 



11. Dopo di avere cosi trovato una generalizzazione dell'operazione di 

 derivazione avente significato ben determinato per ogni valore dell' indice, 

 però limitatamente ad un campo funzionale assai ristretto, cerchiamo l'o- 

 perazione più. generale alla quale, secondo si è stabilito al § 5, si possa at- 

 tribuire il significato di derivata d' indice qualunque in tutto il campo delle 

 funzioni analitiche. 



A questo effetto, ricordiamo che se A s deve essere considerata come 

 derivazione d'indice s, questa operazione deve soddisfare alle equazioni 



(II) DA S _ 1 = A S , 



(III) A s {x(p) = xA s ((p) -+- sA s _i<p) . 



Ora, conviene rammentare come nel calcolo delle operazioni, accada 

 spesso di dovere considerare accanto ad una operazione A((p), l'altra 

 A(x<p) — xA((p) cui, per le proprietà di cui gode e per ragioni di analo- 

 gia, é sembrato opportuno di dare il nome di derivata funzionale 

 di A ( *' ; essa verrà indicata con A'. Con questa notazione, l'equazione 



(III) viene a scriversi 



(IV) A\=sA s _ 1 

 e, tenuto conto delle (II), si ottiene 



(V) DA' S = sA s . 



12. In questo modo, la derivazione d'indice s é una operazione che va 

 cercata fra quelle operazioni X che soddisfano all' equazione simbolica 



(V) DX' = sX. 



Si noti poi che trovata la derivazione per l' indice s, la equazione (II) per- 

 mette di ottenere la equazione stessa per ogni indice differente da s per 

 numeri interi. 



(*) « Le operazioni distributive ecc. » pag. 100, 189. 



