i*** e a 



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Esaminiamo ora l'equazione (V). Essa é analoga nella forma ad un'e- 

 quazione differenziale lineare, e questa analogia non si limita alla sola 

 forma: si trova infatti facilmente che se X ne è una soluzione, é soluzione 

 anche XM, indicando con M l'operazione di moltiplicazione per una fun- 

 zione arbitraria , ** ) . 



Sia (jL una funzione tale che X abbia significato per essa, e per xu , 

 arf-t , ac z (j. , . . . ; è noto '***> che l'operazione X ammetterà uno sviluppo in 

 serie della forma 



X((j.(p) = X(ti) • (p -+- X'((i)D(p h- ±X"({i)D*<p -+- iyX'»Z) 8 (^) h- • • • 



sviluppo che converge uniformemente ed assolutamente per tutto un deter- 

 minato campo funzionale in cui si può scegliere arbitrariamente (p; questo 

 campo racchiude la costante e tutti i polinomi razionali interi in x. In 

 forza della (V), lo sviluppo precedente verrà a scriversi, come si scorge 

 senza difficoltà, 



X( L u(p) = X(yì)<p -+- sD- l X{n)>D$ -+- (l)D-*X{(j.)<D 2 (p -\ ; 



e con questo si soddisfa all'equazione (V') medesima. L'operazione A s è 

 dunque data dallo sviluppo precedente ; se poniamo, per r intero, 



A s ({i ) = a, Ascili ) = D r a , 

 si ha : 



co ^> 



(VI) A s + r (<p) =^T l r )D ì —a-D^ , (r = 2, — 1, 0, 1, 2, . . .) . 



Lo sviluppo cosi ottenuto soddisfa manifestamente alle equazioni (II) e (V). 



13 Nello sviluppo (VI) vi é una doppia cagione di indeterminatezza. 

 Dapprima, é arbitraria la funzione <a che vi figura, e alla quale si fa cor- 

 rispondere la funzione a ponendo X({i) = a; inoltre, le integrazioni D~ l <x, 

 D~ 2 a,..., introducono una serie di costanti arbitrarie. Per questa ultima 

 ragione, da una determinazione di A s se ne ottengono infinite altre ag- 

 giungendovi l'operazione G(<p) rappresentata dalla serie 



G(<p) = sa D(p -h (I)( a x -+■ aJDQ ■+- (g) ^ - ff^ - 8 )^ ■+-••■ 



dove a QÌ a iy a 9 , ... sono arbitrarie. Il campo funzionale in cui questa serie 

 ha significato, dipende naturalmente dalla scelta di queste costanti; in 



(**) Op. cit, p. 105 



(*•') Op. cit, p. 88. 



