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particolare, se le costanti a oì a iy a g , ... sono prese in modo che la serie 

 la n x n sia convergente per tutti i valori di x, la G(f) avrà significato de- 

 erminato per ogni funzione (p{x) regolare in un intorno di a? = 0. '* ] 



14. La questione importante é ora di studiare la funzione a che figura 

 nello sviluppo (VI). Questa funzione dipende in generale da s, e la indi- 

 cheremo perciò con a(ae,S); inoltre, poiché é soddisfatta l'equazione (II), 

 deve essere 



(VII) «0», s -+- 1) = ^ . 



Questa é un'equazione mista differenziale e alle differenze, cui soddisfa 

 la funzione a; tenuto conto di questa equazione, lo sviluppo (VI) viene a 

 scriversi 



OC j 



(Vili) A,+ r {p) = 2 ("VM*. « + r- n)D^- ; 



n = é 1 



in particolare, se A s (l) = a , si ha nel caso di r = 0: 



(IX) 4,(0) = S(S)a(«, « — "J^ • 



15. Ora, all'equazione (VII) soddisfa la funzione 



T[h — s — 1) ' 



come si verifica immediatamente, qualunque sia il numero h, purché 

 h — s — 1 non sia un intero nullo o negativo; perciò vi soddisfarà come 

 integrale generale (con un numero infinito di costanti arbitrarie equivalente 

 ad una funzione arbitraria) la sommatoria 



o.,x 



^T(v - 



(v — s-hl) ' 



estesa a valori qualsivogliano di v. Ma per trattare la questione nei limiti 

 che ci siamo imposti (cioè della applicabilità della derivazione d' indice 

 qualunque agli elementi dello spazio funzionale § delle funzioni regolari 

 in una stella di centro a? = 0) noi dovremo supporre le v intere e posi- 

 tive, e porremo 



oc y » 



u.x * 



(X; a(x, s) = 2 



£J\v — *-*-l) 



(*) I polinomi <2 , a.x + dx, « a z- 2 -+- 2a t x -+- « 2 , . . . che figurano come coefficienti di D, IP, D\... 



nello sviluppo di G, formano una succession? di polinomi di Appell. V. op. cit., pag. 130, 132. 



