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Vediamo ora di determinare questa funzione in modo di soddisfare alla 

 condizione e) del § 5, cioè di far coincidere l'operazione A s , data dalla 

 (IX), con D\ per tutti i valori interi positivi dell'indice s. 



Per * = 0,-l, 2,...., la (IX) ci dà rispettivamente 



A Q {$) = a{x, 0)0, 



A^<p) = a(x, \)(p -+- a(x, 0)D(p , 



A 2 ((p) = a(x, 2)<p ■+- 2a(a?, 1)D0 -+- a(#, 0)£> 2 $ , 



Se queste debbono coincidere con Z)°, Z), /),... rispettivamente, dovrà 

 essere 



(XI) a(a?, 0) = 1, «(#, /i) = per « = 1,2,3,... 

 Ma per la posizione (X), si ha 



a(x , 0; = a -+- a x x -+- — ^ -+- • ■ • , 

 e quindi deve essere, per le (XI), 



a = 1 , «j = a 2 = - • • = a n = . 

 La a(a?, s) viene allora data da 



(XII) a{x, §) 



r(l-a)' 



1 



e le condizioni (XI) sono tutte soddisfatte, per la nota proprietà di 



1 (z) 



di essere nulla per # = 0, — 1 , — 2, ... 



16. In tale modo abbiamo ottenuto un'operazione A s , rappresentata da 

 uno sviluppo della forma (IX), dove la a(x, s) è la funzione x~ S :T(1 — s) 

 la quale operazione soddisfa a tutte cinque le condizioni poste al § 5 ; 

 essa si può pertanto indicare con D s , ed abbiamo cosi : 



(XIII) x°D*(cp) = 2p_____-Z)^ , 



ed anche, poiché 



r(l-s + n) = (l- s)(2 — § )---(n — s)F(l — s) , 



