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 essa si può scrivere : 



OO A, 



/TO' 



00 (*) 



(Xiv) ^^ = I ^_^_ ir ___^ 



Questa formula coincide con quella già trovata dal Bourlet ( **'. Soltanto 

 é importante di osservare che questo Autore la ottiene presupponendo già 

 data una definizione per la derivata d'indice qualunque, e precisamente la 

 definizione del Riemann; noi invece la deduciamo come conseguenza ne- 

 cessaria di quelle proprietà che si debbono logicamente ammettere in una 

 operazione per poterla dire derivata d' indice qualunque. Tenuto conto 

 delle proprietà della funzione T, la formula (XIII) vale anche per s intero 

 positivo. Nel caso di s intero negativo, s = — ni, essa diviene 





(XV) Dr m <p = 77 2 (— ìr-TT-^ — -,D n (p , 



r m — 1 ! ; ;r nl(m ■+- n) r 



che coincide colla formula di Bernouilli generalizzata, data a pag. 110 

 dell' opera « le Operazioni distributive ». 



17. Rimane ancora da vedere in quale campo funzionale sia valida la 

 formula (XIV). È facile mostrare come essa sia applicabile a tutto l'insie- 

 me S delle funzioni o rami di funzioni analitiche regolari in qualsivoglia 

 stella di vertice x = 0. 



Sia infatti (p una funzione regolare in una stella E di vertice x = 0; 

 sia poi d x la minima distanza di un punto x della stella dal contorno 

 della stella stessa. Si avrà per ogni punto x della stella 



— t D n (p(x)~ . -i-. '**'*) 

 ni rv ' di 



(*) Risulta da questa formula che l'operazione x s D s appartiene alla classe di quelle che si 

 sono dette nella citata opera Operazioni distributive, cap. VII, e nella mia Memoria Sulle opera- 

 zioni atte ad aggiungere o togliere singolarità ecc. (Ann. di Mat. S. Ili, T. IV, 1900, p. 38) operazioni 

 normali d'ordine zero, o operazioni U. Precisamente, siccome 



'^(l-O?)— ri-S)^J 



(—ir 



s — n (1 — x) n + 1 ' 

 « = o 



l'unzione che ha il solo punto singolare x — 1 a distanze finite, la x s D s è una di quelle operazioni che 

 si sono dette semplici; e tale è anche la sua inversa. Applicata ad una funzione di <§, essa non vi in- 

 troduce dunque alcun nuovo punto singolare. 



(**) Annales de l'Éc. normale, S. III. T. XIV, p. 154 (1897). 



(***) La scrittura a n '—> r n , dove r è un numero positivo, esprime semplicemente che le serie 2a n x n , 



~Zr n x n convergono nel medesimo cerchio; in altre parole, - è il limite massimo (nel senso di Cau- 



n r 



chy) della successione V#«. 



