— 758 — 



Nei riguardi della convergenza, la serie (XIII) o (XIV) si comporta dunque 

 come quella il cui termine generale è 



ed è quindi convergente assolutamente in tutta l'area e del piano x in 

 cui sia \x\ <^, ed uniformemente in tutta l'area e' contenuta in e ed 

 in cui è \x\<C.td XÌ essendo t un numero arbitrario positivo minore d' uno. 

 L'area e' costituisce il campo di convergenza uniforme della serie, e perciò 

 in essa la serie stessa rappresenta una funzione analitica ; inoltre il punto 

 x — appartiene ad e e quindi x?D s p é un elemento dell'insieme^. Ne 

 concludiamo che 



« Lo sviluppo (XIII) definisce l'operazione di derivazione d'indice qua- 

 « lunque s, secondo le condizioni del § 5, per tutte le funzioni dell' in- 

 « sieme S, ed il risultato di tale operazione é del pari una funzione del- 

 « l'insieme S. Alla determinazione di D s data dalla (XIII), si può poi ag- 

 « giungere un' operazione arbitraria G, secondo é indicato nel § 12 ». 



Come esempio, si consideri una funzione analitica (p(x) regolare in una 

 stella il cui contorno sia costituito dal solo punto 1. L'area e sarà deter- 

 minata dalla condizione 



e sarà quindi costituita dal semipiano a sinistra della parallele all'asse 



1 



immaginario condotta per il punto x = - ; si potrà pertanto, in tutto code- 



sto semipiano, ottenere la derivata d'indice qualsivoglia s della data fun- 

 zione mediante l'applicazione della formula (XIV). 



