( ioo ) 



schappelijke koorde Pp over in de gemeenschappelijke raak- 

 lijn in P van de kromme en van eene uit Q en Q' beschre- 

 ven kegelsnede, zoodat dan de normaal der kromme in P 

 langs die van deze kegelsnede, dat is langs de deellijn van 

 hoek QPQ' of, wat hetzelfde is, langs de deellijn van hoek 

 FFF' valt. Maar, door omgekeerd het veranderlijk gedachte 

 punt P tot het vaste punt p, dus F en F' tot q en q', te 

 doen toenaderen, blijkt eveneens de normaal der kromme 

 in p langs de deellijn van hoek qpq' of van hoek FpF' te 

 vallen. De kromme en de kegelsnede uit F en F' hebben 

 dus niet alleen ééne, maar twee opvolgende normalen ge- 

 meen. En bij den grensovergang blijken alzoo de kromme 

 Pp en de uit de overeenkomstige punten Q en Q' als brand- 

 punten beschreven kegelsnede telkens drie opvolgende pun- 

 ten gemeen te hebb?n, terwijl de meetkundige plaatsen Qq 

 en Q' q' der brandpunten van deze opvolgende kegelsneden 

 telkens zooals bedoeld werd door de overeenkomstige ver- 

 bindingslijnen QP en Q'P worden aangeraakt. 



Stelt men de voerstralen QP = w, PQ — v, den kromte- 

 straal PM == pM = R en de hoeken QPM = Q'PM — 9, 

 dan geeft de figuur: SP M — \{SPF -^SPF') en SpM=z 

 = i(SpF+ SpF'), dus als verschil: PMp — \{PFp-\-PFp)^ 

 waarvan de drie termen, opvolgend gedeeld door R.PAfp, 



u.PFp v.PF'p ,,,..,, , .,.,,. 



en (die behoudens oneindig kleinen van hoo- 



cos 9 cos (p 



ger orde allen gelijk Pp zijn), de formule — =H — \--\cos(p 



R 2\u vj 



opleveren. Vooreerst moet deze formule dus ook gelden voor 

 den kromtestraal en de beide voerstralen van een wille- 

 keurig punt eener kegelsnede. Ten andere bevestigt zij, door 

 een zelfden kromtestraal te geven, liet even gezegde om- 

 trent de drie opvolgende aan eene kromme Pp en de ke- 

 gelsnede uit Q en Q' gemeenschappelijke punten. En in de 

 derde plaats heeft zij tevens beteekenis in de leer der cata- 

 caustische lijnen, want het is duidelijk dat Qq en Q'q' ten 

 opzigte van Pp als spiegelkromme voorkomen als een paar 

 van aan elkander toegevoegde lijnen van die soort. 



Ten aanzien van deze formule teekenen wij nog aan : 



