( ioi ) 



1 ° dat zij voor R = oo vordert v = — w, zoodat, als de 

 spiegelkromme in eene regte lijn overgaat, de beide cata- 

 caustische krommen elkanders symmetrische ten opzigte van 

 deze lijn zijn ; 2° dat die beide krommen kunnen zamen- 

 vallen, en dan de ontwondene van de spiegelkromme vor- 

 men, als wanneer de lichtstralen normaal invallen en uit- 

 vallen, dus overal (p ■=. is met R-=. u — v. Ook kunnen 

 de beide catacaustische krommen verschillende deelen van 

 eene zelfde kromme zijn, waarvan men een voorbeeld heeft 

 in het geval van een om eene ellips geslagen onrekbaar 

 koord, waarvan de stift die het gespannen houdt alsdan 

 eene homofocale ellips zal beschrijven. Komt eindelijk het 

 geval voor, dat steeds <p = QPM — qp M standvastig blijft, 

 dan gaat de cirkel door M, P en p tevens door F en even- 

 zeer door F'; men heeft dan u =zv ■=. Rcoscp, en de tel- 

 kens onderling gelijke afstanden MQ en MQ' staan loodregt 

 op PQ en PQ'. 



Wij besluiten met het opmaken van de algemeene ver- 

 gelijking van eene kegelsnede van de thans bedoelde soort. 

 Daartoe gaan wij weder van een willekeurig punt P of (x, y) 

 van eene gegeven kromme Pp uit en, terwijl wij als vroe- 

 ger p en q de eerste en de tweede afgeleide van y naar x 

 blijven noemen, stellen wij thans door k, die weder eene 

 willekeurige functie van x kan zijn, de tangens van de ge- 

 lijke hoeken QPM= Q'PM = qp voor, die de raaklij- 

 nen PQ en PQ' van de meetkundige plaatsen der beide 

 brandpunten met de normaal PM maken; & x zal overigens 

 de afgeleide van k naar x beteekenen. De vergelijkingen 

 van PQ en PQ' zijn dan zamen te vatten onder den vorm 

 1 



P v l±kp 



Y — y = — (A — x) = (X — A zoo dat voor het 



k — p±k 

 1 =F- 

 V 



snijpunt telkens met de onmiddellijk volgende overeen- 

 komstige lijnen pq en pq' door differentiatie bovendien 

 l ±h . (X J^±k){±kq±k 1 p)-(l±:kp)(--q±:k l ) 

 P —pdzk~ t{ X) {—pdzkf 



moet wezen ; en hieruit vindt men de coördinaten der beide 



