( 445 ) 



Deze vierkantsvergelijking noemen wij de karakteristieke 

 vergelijking. Boole *) heeft ze reeds gevonden door variatie- 

 rekening, en zegt, dat zij in nauw verband staat met de 

 argumenten der willekeurige functiën. Ook bij Ampère 

 komt zij reeds voor. 



Aangaande de integratie van stelsel I zegt Darboux 

 verder, dat zij in het algemeen niet is uittevoeren, daar 

 het bestaat uit 6 vergelijkingen met 7 onafhankelijk ver- 

 anderlijken, zoodat de volkomen oplossing niet kan worden 

 verkregen ; laat het stelsel echter voor één der waarden 

 van m twee integrabele combinatie's toe, u = c x en v — c 2 , 

 dan is u = cp (v) eene partieele differentiaalvergelijking 

 van de tweede orde met eene willekeurige functie, gelijk- 

 tijdig bestaande met ƒ = 0. Kan men voor de tweede 

 waarde van m ook twee zulke integrabele cotnbinatie's 

 vinden, dan is het probleem opgelost. 



Is dit echter niet het geval, dan kan men soortgelijke 

 stelsels vormen, waarin de afgeleiden van x en y ten op- 

 zichte van z van de 3de orde voorkomen. Alsdan zal dit 

 nieuwe stelsel eenige integrabele combinatie's kunnen toe- 

 laten. Indien dit niet het geval is, zoude men kunnen 

 gaan tot de afgeleiden van de 4de orde enz. 



De tweede wijze, die Darboux in bovengenoemde verhan- 

 deling aangeeft, om partieele differentiaalvergelijkingen van 

 de 2de e n hoogere orde te bepalen, waaraan de algemeene 

 integraal van de gegevene vergelijking voldoet, is, zegt hij, 

 algemeener. 



Hij stelt het volgende probleem : 



» Eene partieele differentiaalvergelijking v = a van de 

 rade orde te vinden, die met de gegevene van de tweede 

 orde ƒ = eene oplossing gemeen heeft met ten minste 

 ééne willekeurige functie" en hij gaat aldus voort : »Hier- 

 voor merken we op, dat de gegevene vergelijking ƒ = 0, 

 (n — 1) maal gedifferentieerd, n vergelijkingen oplevert, die 

 die ii + 2 afgeleiden van de (n -f- l) ste orde bevatten. De 



*) Treatise on differential equations. Suppl. vol. 



