( 446 ) 



vergelijking v = a, gedifferentieerd ten opzichte van x en 

 van ?/, geeft twee vergelijkingen, die ook de afgeleiden van 

 de {n -f- l) ste orde bevatten. Men heeft dan in het geheel 

 (w -f- 2) vergelijkingen, die lineair de afgeleiden van de 

 ( n _|_ l)ste orde bevatten, en die deze bepalen als functiën 

 van de afgeleiden van lagere orde, indien de twee differen- 

 tiaalvergelijkingen, waarvan men de gemeenschappelijke op- 

 lossing zoekt, willekeurig waren. Dit laatste kan echter 

 niet het geval zijn. Want dan zouden de afgeleiden van 

 de (n -f- l) ste orde alle afzonderlijk bepaald worden door 

 de afgeleiden van lagere orde, en alsdan zoude de gemeen- 

 schappelijke oplossing, zoo zij bestond, een onbepaald aantal 

 constanten bezitten. Dit zoude niet kunnen. Deze (n -f- 2) 

 vergelijkingen, die lineair de (n + 2) afgeleiden van de 

 (n -f- l) ste orde bevatten, vormen dus een onbepaald systeem, 

 hetgeen voorwaardevergelijkingen oplevert. Daar twee der 



c) v ö v d v ^ 



vergelijkingen de afgeleiden — , — , (p -f q_^n)he- 



dx d y b zp.q 



vatten, zullen de voorwaardevergelijkingen bestaan uit twee 

 partieele differentiaalvergelijkingen van de 1ste orde, waar- 

 aan v moet voldoen. Deze vergelijkingen zijn homogeen en 

 van den tweeden graad ten opzichte der afgeleiden in v\ 

 Dit is hetgeen Darboux van zijne tweede methode zegt. 



Laat ons nu nagaan, welk verband er bestaat tusschen 

 de vergelijkingen, volgens de eerste en de tweede methode 

 verkregen, tot welke de integratie van ƒ = wordt terug- 

 gebracht. Wij zullen zien, dat de vergelijkingen, volgens 

 de eerste en volgens de tweede methode verkregen, gelijk- 

 waardig zijn, en in elkaar kunnen worden overgevoerd. 



§ 2. 



Zij de partieele differentiaalvergelijking van de 2de rde 

 weder 



f(x,y,z,p,q,r,s,t) — Q, (1). 



en laat v = a eene nieuwe partieele differentiaalvergelijking 



