( 447 ) 



van de tweede orde zijn, die met de gegevene eene oplos- 

 sing gemeen heeft met ten minste eene willekeurige functie. 

 Trachten wij nu volgens de tweede methode van Darboux 

 zulk eene vergelijking te bepalen. 



Hiertoe differentieeren wij de vergelijkingen ƒ = en 

 v = a éénmaal zoowel naar x als naar y ; dan verkrijgen wij : 



\dx) drdfi dsdx dtd& \dyl dr dy ds dy dtdy 



/dv\ dv dr dvds dv dt „ /dv\ dvdr dv ds dv dt 



— ) + I H =0, — )+ ■+- 1 =0. 



\dx) drd& dsdx dtd% \dy/ drdy dsdy dt dy 



Daar verondersteld werd, dat er eene gemeenschappelijke 

 oplossing z — cp (#, y) bestond, zal : 



c)s dr d t ds 



d % d y d os d y 



moeten zijn, zoodat de vergelijkingen overgaan in : 



C~ + — *3.0 + — *2.1 + — *1.2 =0, ... (2). 



d &) dr ds d t 



ö v\ d v d v d v 



r— + — -3.o f- — - - -2.i -f — ^i.2 = 0, ... (3). 



fi x) dr ds d t 



o y / r Os d t 



d v\ d v d v d v 



r- I + T- ^2.1 + — *1.2 4- — ^0.3 = 0. ... (5). 

 \dyj dr ds dt 



Bepalen wij nu de voorwaardevergelijkingen, waaraan, 

 wanneer wij de afgeleiden van z van de 3de orde als onbe- 

 kenden aannemen, de vergelijkingen (2), (3), (4) en (5) 

 moeten voldoen, opdat zij een onbepaald stelsel vormen. 

 Elimineeren z 3m0 uit (2) en (3) en z .s uit (4) en (5), dan 

 heeft men; 



