( 473 ) 



«als aan (20) en (21) voldaan is. Want de vergelijking 

 dz~pdx -\- qdy is een der vergelijkingen van het hulp- 

 stelsel dat wij geintegreerd hebben, en substitueeren wij hierin 

 de waarden van y, z, p en y, uitgedrukt in de x en de vijf 

 integratie constanten, dan zal deze vergelijking eene indentiteit 

 worden, in de onderstelling, dat de vijf constanten werkelijk 

 constant zijn In dit geval is aan (22) voldaan. 



Beschouwen wij echter vier der constanten als functiën der 

 vijfde, waarbij de betrekkingen (23) gelden, dan wordt (22): 



ü z üz d c _ &y dy d c 



of 



Daar wij onderstelden dat aan (20) voldaan was, is dus 

 ook in dit geval aan (24) voldaan. 



Er blijven nog óver (20) en (21). Nu is (21) de afge- 

 leide van (20) ten opzichte van x. [x en c als onaf hankelijk 

 veranderlijken beschouwd). 



Bepalen wij dus de willekeurige functiën zoo, dat aan 



c lf _ ^ = of L=0 (20) 



ü c de 



en hare afgeleiden ten opzichte van x is voldaan. 



Hierin zijn z, q en y als functiën van x en e, uit (23) 

 bepaald, te beschouwen. Wij zullen alsdan twee betrek- 

 kingen tusschen de vier willekeurige functiën vinden en 

 niet meer, waaruit volgt, dat de gevonden integraal nog 

 twee willekeurige functiën bevat en dus de algeraeene 

 integraal is. 



Bewijzen wij daartoe dat de vergelijking (20) van den 

 vorm A X (x) -{- B u (x) == is, waarin l (x) en /li (x) functiën 

 van x zijn en A en B enkel functiën van c. 



Zullen alsdan de afgeleiden ten opzichte van x ook nul 

 zijn, dan moet én A =z én B = zijn, waarmede de 

 gezochte betrekkingen zijn gevonden. 



