vom 13. Januar 1881. 55 



lässt sich zeigen, dass unter den K m unendlich viele vorkommen, 

 die ^ sind. Die Function 7(7) ist zunächst nur für das Inter- 

 vall bis -|7z-+§ definirt und verschwindet für den letzteren 

 Werth von 7, denn die Lichtmenge, welche der Beobachter von 

 dem Rande der für ihn sichtbaren Calotte empfängt, ist gleich Null. 

 Setzen wir nun fest, dass / (7) für das Intervall von -|-7i--t-£ bis 

 tv beständig gleich Null sein soll, so lässt sich die so für das ganze 

 Intervall bis 7r definirte Function 7(7) nach Kugelfunctionen 

 entwickeln in der Form 



/(7) = S/ 2 P 9 (cos 7 ), 

 f q = ——ff(y)P q ^osy)smydy 



also 



und 





1 



Wenn nun nur eine endliche Anzahl der K q von Null verschieden 

 wäre, so würde sich / (7) wegen dieser Darstellung als eine ganze 

 rationale Function von cos 7 ergeben, die nicht für alle Werthe in 

 dem Intervall ^rr -\-h bis tv verschwinden kann, es sei denn, dass 

 sie identisch verschwindet. Die Anzahl der von Null verschiede- 

 nen K q ist also unendlich gross. 



Ferner sind die Wurzeln der Gleichung 



P(m,n,ß) = (XI) 



für alle vorkommenden Werthe von m und n reell und liegen in 

 dem Intervall bis n. Es werden also in (X) für jedes s unter 

 den P (m , n , ^n -t-s) solche vorkommen, die entweder verschwinden 

 oder doch sehr klein sind. Andererseits ist die Anzahl der Wur- 

 zeln von (XI), wenn man von der Wurzeln ß = und ß = n ab- 

 sieht, gleich m — n. Es wird also, so lange m kleiner bleibt als 

 eine beliebige endliche Zahl g, immer unendlich viele Werthe von 

 s geben, für welche keines der P(m,n,^+s) verschwindet. 



Diese Bemerkungen waren erforderlich, um gewissen Einwen- 

 dungen gegen die späteren Schlüsse zu begegnen. Die Lösung der 



