Ivom 21. Februar 1881. 229 



Ich erlaube mir, aus Hrn. Tan n er y 's Briefe das Nachstehende 

 mitzutheilen. 



„Man nehme eine unendliche Reihe positiver ganzer Zahlen 

 m , »», , m 2 , ... 

 so an, dass 



Lim. m n = oo , 



l+« m » J + l, wenn |#| < 1 , 



\ — 1, wenn |#| > 1 . 



V =1 



<A 2 ,« m v-l (> ?n ~ m v-\ — 1) 

 l_<C»"o ' jLj (a>m v _ j) ( x m,-i — 1) ' 



Setzt man also 



1 + x ™ ~ 2 £»? „Li ^ r »i„_!,_ j ) 



<\,{x) = 





1 — a^o ^H {x m v — 1 ) (a'V-i — l ) 



so convergirt die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung 

 für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag von 1 verschieden 

 ist, und hat den Werth 



+ 1 oder — 1 , 

 je nachdem der absolute Betrag von x kleiner oder grösser als 1 ist. 

 Nimmt man in dem vorstehenden Ausdrucke von 4 / (, x ) 

 m v — 2" , 

 so erhält derselbe eine besonders einfache Gestalt; es ist dann 



, , v 1 + x 2x 1x % 2x i 



tW — ; — 



ar — 1 X — 1 X* — 1 



Dazu bemerke ich noch Folgendes. 



Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die von Hrn. Tannery 

 gegebene Reihe in der Nähe jedes Werthes von x, dessen absolu- 

 ter Betrag nicht gleich 1 ist, gleichförmig convergirt. 



Ist ferner x' eine beliebige rationale Function von x, so wer- 

 den in der Ebene der letzteren Grösse diejenigen Werthe dersel- 

 ben, für die der absolute Betrag von x' gleich 1 ist, durch eine 

 algebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in 

 mehrere Stücke zerlegt, dass der absolute Betrag von x' in eini- 

 gen Stücken kleiner als 1, in den andern grösser als 1 ist. Setzt 

 man also 



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