538 Sitzung der physikalisch-mathemalischen Klasse 



n — v , n — v -\- 1 , ... , n — n x + v 



ist, gleich Null werden. Man erhält hierdurch 2v — n, H- 1 lineare 

 homogene Gleichungen für die 2c — n x + 2 Coefficienten von $ (#) 

 und ¥(#), welche deren Verhältnisse ausnahmslos, d.h. für jedes 

 beliebige System von Functionen f(x) , f\(x) und so vollständig als 

 möglich bestimmen. In gewissen Fällen ist nämlich die Auflösung 

 jener Gleichungen von einer solchen einfachen oder mehrfachen 

 Unbestimmtheit, wie sie der Bestimmung von Grössen durch lineare 

 homogene Gleichungen im Falle des Verschwindens von Unterdeter- 

 minanten der Natur der Sache nach anhaftet. In gewissen Fällen 

 ergeben sich ferner für die Coefficienten der höchsten Potenzen von 

 xm$(x). und .¥(#) Nullwerthe als nothwendig, und die ursprüng- 

 liche Forderung, dass ¥(#) vom Grade v sei, kann also nur in dem 

 Sinne erfüllt werden, dass der wirkliche Grad nicht grösser als v wird. 

 Aber die nähere Charakterisirung dieser besonderen Fälle und der 

 dabei vorkommenden Bestimmungsweisen für die Functionen $(#) 

 und¥(#) wird am einfachsten durch jene Methode dargelegt, welche 



sich auf die Kettenbruchsentwickeluns von „' , gründet. 



Statt der Coefficienten von *(#) und ¥(x) kann man die von 

 $(#) und F(x) oder auch die von ¥(#) und F(x) als die zunächst 

 zu bestimmenden Unbekannten ansehen. Enthält /(#) den Factor 

 x — £ h z. B. m A mal, so werden die Coefficienten von ¥(#) und 

 F(x) durch die Bedingung definirt, dass in der Entwickelung von 

 fi{x)"i{x) — F(x) nach steigenden Potenzen von x — £ h die ersten 

 m h Glieder fehlen sollen. Für den Fall, dass jeder Linearfactor 

 in f(x) nur einfach enthalten ist, sind also die Coefficienten von 

 "¥{x) und F(x), deren Gesammtzahl n + 1 ist, durch die n Be- 

 dingungsgleichungen 



bestimmt, auf deren Natur nachher etwas näher eingegangen wer- 

 den soll 1 ). 



Man kann sich endlich darauf beschränken, die Coefficienten 

 einer einzigen der drei Functionen F(x) , $(x) , Y(x) als Unbekannte 

 einzuführen 2 ), und dabei gelangt man zur einfachsten Lösung, 

 welche die Aufgabe — abgesehen von jener auf die Kettenbruchs- 



*) Siehe Art. IL 

 2 ) Siehe Art. HL 



