542 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



mit der Bedingung i>-\-§<Cn sein, so zeigt die durch Elimination 

 von fi aus (B°) und (C) entstehende Gleichung 



dass 



<*>**- 4^* = o 



sein muss, sobald 



n k t v < w i+1 



ist, da alsdann sowohl der Grad von "i k F als der von f k+ {¥ klei- 

 ner als der Grad von / wird. Es giebt also keine andern Functio- 

 nen $(x),"¥(x) als solche, deren Quotient gleich einem der Nähe- 



rungsbrüche der Kettenbruchsentwickelung von * ist, und alle 



fv v ) 

 Systeme von Functionen F(x) , <£(x) , ¥(#), welche die Gleichung 

 (C) befriedigen, werden daher durch die Gleichungen 



(C) *(*) = O0e)q> k &) , ¥(*) = Ö(x)^ k (x) , F(x) = mfk+iti) 



gegeben, in denen S(x) eine beliebige ganze Function von einem 

 Grade bedeutet, der kleiner als ^(n k+1 — n Ä .), d.h. kleiner als die 

 Hälfte des Grades des betreffenden Partialnenners g k+1 ist. Diese 

 Gradbestimmung von 0(#) erfolgt nämlich in der Weise, dass, wenn 

 r den Grad von 6(x) bezeichnet, aus den Gleichungen (C) die 

 Relationen 



v = r + n k , £ = r-\-n — n k+1 , also § — v = n — n k — n k+1 



und wegen £> + v < n die Ungleichheitsbedingungen 



"<!(% + %)) s K|(%i-%.) 



hervorgehen. Der Grad von Y(x) bleibt hiernach immer unter dem 

 mittleren Werthe der Grade von \// Ä und \^ A . + i, und ebenso bleibt 

 der Grad von F(x) unter dem mittleren Werthe der Grade von f k 

 und f k+1 . 



Soll eine ganze Function von gegebenem Grade v 



Xß p xP (jp=-o,i,...v), 



für ¥(#) gesetzt, die Gleichung (C) befriedigen, so muss sie nach 

 vorstehenden Erörterungen, wenn u zwischen n k — l und n k+1 liegt, 

 durch 4^k( x ) theilbar sein, und der Quotient ö(x) ist an die Be- 

 dingung gebunden, dass der Grad des Productes # (•#) A+i (#) kleiner 



