vom 16. Juni 1881. 543 



als n — v sei. Die Function 8(x) unterliegt im Übrigen keiner Be- 

 schränkung; wird deren Grad, wie oben, mit r bezeichnet, so 



muss, da 



Xß pX p = 6(x)^ k (x) (p = o,i,... v ) 



p 



ist, r + n Ä + 1 und gleichzeitig r + n — n k+i <Cn — v sein, d.h. 



die Zahl t ist nur den Bedingungen 



r < v — n k -h 1 ,t< n k+l — v 

 unterworfen. 



Die allgemeinste an Stelle von Y(x) der Gleichung (C) 



genügende Function uteri Grades ist hiernach eine be- 



— liebige durch 4 / k( x ) theilbare ganze Function, für welche 



^ ' der Grad des Quotienten kleiner als jeder der beiden 



Abstände der Zahl v von den beiden Grenzen n k — 1 



und n k+1 ist, zwischen denen sie liegt. 

 Für die Werthe v = n k , und zwar für diese allein, wird Y(x), ab- 

 gesehen von einem constanten Factor, gleich ^ k {x) selbst, also 

 gleich einer bis auf einen constanten Factor völlig bestimmten 

 Function, welche im eigentlichen Sinne vom Grade n k , d. h. in 

 welcher der Coefficient der w^ten Potenz von x von Null verschie- 

 den ist, und es kann diese Art der Charakterisirung der Zahlen n k 

 an Stelle der bisher benutzten, auf der Kettenbruchsentwickelung 



von * basirenden Definition zum Ausgangspunkte genommen 



werden. Bei den Veränderungen, welche die der Gleichung (C) 

 genügenden Functionen "¥(#) erfahren, während die Zahl v nach 

 einander die Werthe 1, 2, 3, ... durchläuft, markiren die Zahlen n k 

 die Anfangspunkte der wesentlich verschiedenen Intervalle. Für 

 das ganze Intervall von u = n k bis v = n k+1 — 1 ist ^/ k ($) der 

 grösste gemeinsame Theiler aller zugehörigen Functionen ¥(%) also, 

 so zu sagen, eine Invariante des Intervalles; der andere Factor ist 

 eine beliebige Function eines bestimmten Grades, der für v = n k 

 gleich Null ist, mit wachsendem v bis zur Mitte des Intervalls 

 gleichmässig steigt, alsdann aber gleichmässig abnimmt und also 

 am Ende des Intervalls bei v = n k+l — 1 den Werth Null wieder- 

 erlangt. Der höchste wirkliche Grad der Function ¥(#) ist dem- 

 nach in der ersten Hälfte eines jeden Intervalles gleich dem gefor- 

 derten, der mit v bezeichnet ist, in der zweiten Hälfte dagegen 

 gleich der Zahl n k -+- n k+x — 1 — e, so dass das arithmetische Mittel 



