544 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



des höchsten wirklichen und des geforderten Grades von ¥(#) in 

 der zweiten Hälfte des Intervalls constant gleich der Mitte des 

 Intervalls bleibt. 



IL 



Die Bestimmung von Functionen F(x) ,$(#), ¥(x), welche die 



Gleichung (C) befriedigen, findet eine Anwendung bei Lösung der 



F(x) 

 Cauchv'schen Aufgabe, einen Bruch — — aus den n Werthen 

 J ö ¥(#)- 



M l5 w 3 ,... m m zu bestimmen, welche derselbe für die n Wurzeln 



^,-li', ... £ n der Gleichung f(x) = annehmen soll. Denn, wenn 



zuerst eine ganze Function (n — l)ten Grades /i(#) mittels der 



Lagrange'schen Interpolationsformel so bestimmt wird, dass 



wird, so handelt es sich nur darum, F(x) und "i(x) der Bedingung 



mmtt) = F(? h ) (k = l,2,...n) 



gemäss also derart zu bestimmen, dass die Gleichung (C) erfüllt 

 wird. Die vollständige Lösung der bezeichneten Cauchv'schen 

 Aufgabe ist demnach in den Gleichungen (C) enthalten, d. h. es 

 giebt keine andern Brüche als 



A+i \ X J 



welche die Eigenschaft haben, dass ihre Werthe für die n Wurzeln 

 von f(x) = mit denen von fi(x) übereinstimmen und dass die 

 Summe der Grade von Zähler und Nenner kleiner als n sei. Hier- 

 bei zeigt sich eine bisher wohl noch nicht bemerkte Einschränkung 

 der Lösbarkeit der C auch y 'sehen Aufgabe. Diese verlangt näm- 



F(x) 

 lieh die Bestimmung eines Bruches , N , für welchen 

 ° ¥(» 



|^y = % <a = i,2,.„«) 



wird, während der Grad des Zählers oder des Nenners gegeben 

 und die Bedingung zu erfüllen ist, dass die Summe der beiden 

 Grade kleiner als n sei. Wenn nun die Zahl § als Grad des Zäh- 

 lers gegeben ist und der Ungleichheitsbedingung 



w — n k+1 < ^ <n — n k 



