vom 16. Juni 1881. 545 



genügt, oder wenn die Zahl v als Grad des Nenners gegeben ist 

 und der Ungleichheitsbedingung 



n k t v < n k+1 

 genügt, so kann nur 



F(x) = f k+1 (x) 



sein. Aber dieser Bruch befriedigt nicht stets die Forderung der 

 Ca uchy 'sehen Aufgabe. Freilich ist die Gleichung 



A+i (£*) = %^A (£») C* = 1, 2, ... n) 



unter allen Umständen erfüllt; der Quotient 



fk+l \ x ) 



aber nimmt, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Theiler 



haben, nicht für jeden Werth x = £ h den bezüglichen Werth u h an. 



Dieser gemeinsame Theiler muss nämlich gemäss der Gleichung (B°) 



nothwendig auch ein Theiler von f(x) sein, und wenn derselbe mit 



%{x) bezeichnet wird, so kann für diejenigen Werthe x = £, wo- 



fic (x) 

 für y (x) = wird, der "Werth des Bruches , +1 nicht gleich 



dem von fi(x) werden, da sonst wegen der Gleichung (B°) der 

 Quotient 



f(x)cp k (x) 



für jene Werthe x = £ verschwinden müsste. Dies ist unmöglich, 

 weil einerseits die n Grössen £, für welche /(£) = wird, ge- 

 mäss der Cauchy'schen Aufgabe unter einander verschieden anzu- 



f(x) 

 nehmen sind und also . . keinen Theiler x — P haben kann, 



%0) 



und weil andrerseits cp k (x) mit ^ fc (#) keinen Theiler gemein haben, 

 also keinen Factor x — £ von %(x) enthalten kann. Es giebt dem- 

 nach keine anderen rationalen Functionen von x, welche für 

 x = q x , £ a , ... t n die "Werthe u x , % , ...u n annehmen, als diejenigen 

 Functionen 



fk+l i x ) 

 ^k( x ) 

 welche reducirte Brüche sind, und sobald der Grad des Nenners 

 zwischen zwei Zahlen 



