552 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



f 6*0 

 und der Ausdruck rechts unterscheidet sich von „_ . für unend- 



lieh grosse Werthe von x nur um Glieder der Ordnung wie -. — i 



d. h. um Glieder der Ordnung n k -\-n k+1 , und n k -\-n k+1 ist grösser 

 als 2n k . Es sind hiernach die ersten 2?i Coefficienten der Ent- 

 wicklung eines rationalen Bruches nach fallenden Potenzen von x, 

 wenn derselbe in der reducirten Form einen Nenner nten Grades 

 und einen Zähler höchstens (n — l)ten Grades hat, Invarianten 

 für die Entwickelung aller derjenigen Functionen von x, deren 

 Näherungswerth jener Bruch ist. 



Bei der nunmehr darzulegenden allgemeinen Methode der Lö- 

 sung der Gleichung (C) sind die 2n ersten Entwickelungscoefficienten 

 c , Cj , ... c 2n -i, deren man nur bedarf, die gegebenen und die Ver- 

 hältnisse der v -+- 1 Coefficienten von Y(x) die zu bestimmenden 

 Grössen. Setzt man demgemäss 



¥(x) = Xß p xP (p = o,i,...v), 



p 



so sind die Coefficienten ß einzig und allein an die Bedingung ge- 

 bunden, dass — wie schon im Anfange dieses Abschnittes erwähnt 

 ist — der Rest der Division von f 1 (x)'i(x) durch f(x) höchstens 

 vom Grade n — v — 1 sein soll, d. h. also dass bei der Entwickelung 



/ (x)Y(x) 

 von ■ — — — nach fallenden Potenzen von x die Coefficienten von 



/CO 



x~ x , x~" , ... x~' J gleich Null werden sollen. Hieraus resultiren die 

 v Bedingungsgleichungen 



(D) Xß p C p+q = (p = 0,l,...i/; 9 = 0,1, ...v-l), 



v 



welche nothwendig und hinreichend sind, damit Xß p x p eine der 

 Aufgabe entsprechende Function Y(x) darstelle. 



Die Grössen ß werden durch die Gleichung (D) als die Coeffi- 

 cienten der allgemeinsten zwischen je v ■+• 1 aufeinanderfolgenden 

 Grössen c bestehenden linearen Relation definirt oder also als die 

 Coefficienten der allgemeinsten für die 2c Grössen 



C , Cj , ... C 2 „_i 



aufzustellenden „linearen Becursions/ormel", welche von Anfang an 

 und mindestens cmal hintereinander Geltung hat, und deren „Ord- 

 nung" daher höchstens gleich v ist. Unter der Ordnung einer linea- 



