556 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



ö oi ? #02 1 ••• a on dar, deren Coefficienten bezw. n solchen Grössen 

 z x , 2 2 , ... £ M proportional sind, wie sie durch die Gleichungen 



k = n 



(E) Xa ik z k = (i=i,2,...h) 



k=\ 



bestimmt werden. Die Grössen z m+1 , z 1H+i , ... z n bleiben hierbei 

 unbestimmt, während z x , z 2 , ... z m sich als lineare Functionen der 

 übrigen n — m Grössen z ergeben. 



Dass die Gleichung (E') die nothwendige und hinreichende 

 Bedingung für das Bestehen der n Gleichungen (E) enthält, zeigt 

 sich unmittelbar, wenn man in der Determinante auf der linken 

 Seite von (E') die erste Verticalreihe mit z 15 die zweite mit z 2 

 u. s. w., die rate mit z m multiplicirt und der letzten Verticalreihe hin- 

 zufügt. Alsdann wird nämlich das erste Element der letzten Ver- 

 ticalreihe identisch mit Xa 0k z k , die folgenden Elemente aber werden 



k=n 

 %a ik Z k a=l,2,...r«), 



und es ist darnach evident, dass die Gleichung (E') erfüllt ist, so- 

 bald die Gleichungen (E) bestehen. Andrerseits ergeben sich unter 

 Benutzung der im Anfang des vorhergehenden Abschnittes (IV) 

 enthaltenen Darlegung die m Gleichungen 



k=n 



^ a ik z k — ° = 1,2,...»*) 



fc=l 



als eine Folge der Gleichung (E'), und aus diesen m Gleichungen 

 resultiren dann die übrigen n — m Gleichungen 



k = n 



X a ik Z k = (i = m+l,m+2,...n). 



fc=l 



Denn vermöge der gemachten Voraussetzungen ist jede der Deter- 

 minanten (m + l)ter Ordnung 



I a pq | (p = l,2,...m,i; q = 1, 2, ...wi,*) 



gleich Null und ergiebt daher, nach der letzten Verticalreihe ent- 

 wickelt, eine Gleichung 



\ a 9 h\ciik = 2a, jk b gi (<r,h=i,2,...m), 



9 



in welcher die Coefficienten h gi für alle Werthe k = l, 2, ... n die- 

 selben bleiben, so dass mit Hülfe dieser Gleichung eine beliebige 

 von jenen (n — m) Summen 



