vom 16. Juni 1881. 565 



Aus dieser Gleichung erhellt unmittelbar, dass das Verschwinden 

 aller Determinanten (m + l)ter Ordnung 



I c h+k | (h=0,l,...m; fc=0, 1, ...m-l,t) 



für t = m ,m-\-l, ... die nothwendige und hinreichende Bedingung 

 für das Bestehen der Gleichung 



k = oo 



(G) C M 0) = £> Cm} (x) 2 c k _i ar* 



fc=i 



ist. Die Gleichung (G) wird inhaltlos, wenn & m) (x) und D (m *(x) 

 identisch gleich Null sind. Dies tritt, wie sich bei der Determi- 

 nante (F') unmittelbar zeigt, dann und nur dann ein, wenn alle 

 w + 1 aus dem Systeme von w(mH-l) Elementen 



C h+k (7< = 0,l,...m,-fc = 0,l,...m-l) 



zu bildenden Determinanten witer Ordnung verschwinden. Wird 

 dieser Fall ausgeschlossen, so können die für das Bestehen der 

 Gleichung (G) erforderlichen Bedingungen 



| c h+k j = (h=0,l,...m;k=0,l,:..m-l,t) 



für t = m , m-r-1, ... nicht erfüllt sein, ohne dass 



I c i+k\ =§: ° {i,k=o,\,:..m-\) 



ist. Wäre nämlich diese Determinante der ersten m 2 Grössen c i+k 

 gleich Null, also die Determinante D {m \x) von niedrigerem als dem 

 mten Grade, so müsste deren Entwicklung nach der letzten Ver- 

 ticalreihe eine Gleichung 



I Ca > Ch+i , - Cft+m-i > :' «* I = h i% 1 + fy-ia^ 1 + ... + M + *o 



(Ä=0,l,...m) 



liefern, in welcher £ < m wäre. Wird hierin c t+Jl an Stelle von # A 

 gesetzt, so kommt 



b t c t+l + bt_j c t+l _, + ... H- & x c w + 6 c f = | c /l+A . | (J~J) lf ''" : «-™ «)? 



und da die Determinante rechts für t= 0,1,... m — 1 an und für 

 sich verschwindet, während deren Verschwinden für t = m , m ■+• 1, ... 

 für das Bestehen der Gleichung (G) erfordert wird, so müsste der 

 Ausdruck links für alle Werthe von t gleich Null sein, es müsste 

 also schon zwischen je Z + l aufeinanderfolgenden Grössen c eine 

 und dieselbe lineare Relation bestehen. Dann würde aber D^ m \x) 

 identisch Null werden. 



