566 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Jene Ungleichheit | c i+k | 2g; ist also die nothwendige und 



hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung (G) erfüllt wird, 



ohne dass beide Seiten derselben für sich Null werden, also auch 



die Bedingung dafür, dass gegebene Grössen c , c 1 , ... c 2m _i die 



C {m) (x) 

 2?n ersten Coefficienten der Entwicklung von ^. ., x nach fallen- 



D [m \x) 



den Potenzen von x bilden; die folgenden Coefficienten c 2m , c 2m+1 , ... 



sind dann durch eine lineare Recursionsformel mtev Ordnung, deren 



Coefficienten denen von D^ ll) {x) proportional sind, nämlich durch 



die Gleichungen 



I c h+h | ~ ° (h=0,l,...m; Jc = 0,l,...m-l,t) 



und ebenso durch die nach Art. VII hiermit äquivalenten Bedin- 

 gungen 



I V"1 I = ° ()),q = 0, !,...() 



für i ==' m , m-\-l, ..._, d.h. also dadurch bestimmt, dass jede aus 

 den ersten ri l Grössen c„ +v , gebildete Determinante verschwinden 

 soll, sobald n>m ist. 



IX. 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine 

 nach fallenden Potenzen von x fortschreitende Reihe 



fc = l 



aus der Entwickelung einer rationalen Function von x hervorge- 

 gangen sei, ist die Existenz einer linearen Recursionsformel d.h. 

 das Bestehen einer und derselben linearen Relation zwischen je 

 n -+- 1 aufeinanderfolgenden Coefficienten c, auf Grund deren die 

 Reihen selbst auch als recurrirende bezeichnet werden. Denn, wenn 

 bei der Multiplication der Reihe X Ca—i^ - * mit einer ganzen Function 

 nten Grades 



X b h x h (6„>0) 



h = 



die sämmtlichen Glieder mit negativen Potenzen von x wegfallen 

 sollen, so muss die Gleichung 



p—n 



X b p c p+t = (6„>o) 



p = 



für alle Werthe t = 0,1,2,... befriedigt sein. Es ist hiernach 



