568 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



X. 



Geht man von einer gegebenen rationalen Function x ' aus, 



/C'V 



in welcher /(#) vom Grade n und fi(x) vom Grade w — ?i 1 <.n ist, 

 so können die ersten 2n Coefficienten c , Cj , ... c 2r j_i in der Ent- 

 wickelung 



wie schon oben am Ende von Art. III erwähnt worden, einerseits 



durch die Differentialquotienten von \, N , andrerseits durch eine 



/CO 

 dort näher charakterisirte Reihe von linearen Gleichungen aus den 



Coefficienten von f(x) und /i(#) bestimmt werden. Es können 

 somit an Stelle dieser Coefficienten jene 2n Entwickelungs- Coeffi- 

 cienten c , c L , ... c 2n _! als gegebene Grössen eingeführt werden; in 

 diesen drücken sich alsdann die nothwendigen und hinreichenden 

 Bedingungen dafür, dass f(x) und fi(x) einen gemeinsamen Theiler 

 vom Grade n — m haben, einfach durch die n — m Gleichungen 



[ C p+q | = (p,q = 0,l,...t; ( = m,«i + l, ,..«-l) 



aus, denen aber noch die Ungleichheit 



\G i+k \^Q (i,k=0,l,...m-l) 



hinzuzufügen ist, wenn dies der grösste gemeinsame Theiler sein 

 soll. Denn dies sind, wie im vorigen Abschnitte gezeigt worden, 



/ t#) 



Bedingungen dafür, dass jene Entwicklung von die eines 



f\ x ) 

 Bruches ist, der in der reducirten Form einen Nenner mten Grades 

 hat. Es sind dies freilich nicht alle Bedingungen, aber die übrigen, 

 nämlich 



| C p+q | = Cp,q-0.,l,...t;t = n,n+l,,..), 



sind bei der Entwickelung des Bruches \, . von selbst erfüllt. 

 8 /O) 



Genügen die Grössen c jenen angegebenen n — m Bedingungs- 

 gleichungen, so sind nach Art.VIu. VII alle Determinanten (?» +l)ter 

 Ordnung | c p+g | gleich Null, und es bestimmt sich daher eine ganze 

 Function /(#) oder 



b n -+- b x x + - + b n x n , 



