576 Sitzung der 'physikalisch-mathematischen Klasse 



bei diesen Festsetzungen der Ausdruck auf der rechten Seite der 

 Gleichung (M°) für die zwischen \x und v liegenden Werthe von h 

 verschwindet, für welche auch ß h in den Gleichungen (D) gleich 

 Null zu setzen ist, so wird die allgemeine und vollständige Auf- 

 lösung des Gleichungssystems 



(D) Xß p C p+q = (p<=0,l,...v; 2 = 0,1,... i/-l), 



P 



von welchem ausgegangen wurde, durch die Formel 



(M) ß p = cc p + ct p+1 7> _, + u p+2 y. A _ 2 H \- « p+x y (p = u, 1, ... v ) 



gegeben, wenn 



« =0, «j = , ... « A _i = ; cc IJL+1 = , « M+2 = , ... a v+} == 



gesetzt wird, die Grössen 



aber willkürlich bleiben, und auf Grund der Formel (M) werden 

 die Grössen ß p den Determinanten (X + l)ter Ordnung 



I C h •> c h+i » ••• c A+?,-l 5 "p-h+X I (h = Q,l, ...\) 



proportional. 



Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (D) wird, 

 wenn man den Werth von ß p aus der Formel (M) entnimmt, 



— CC p \f p +q ~\~ 7x— 1 C p+q— 1 + "" "+" 70 C p+q—x) 1 

 p = X 



und jede der Gleichungen (D) selbst wird hiernach ein Aggregat 

 von \x — A + 1 mit willkürlichen Coefficienten a multiplicirten Re- 

 cursionsformeln (K), welche y, — ?.-\-l aufeinanderfolgenden Werthen 

 von t entsprechen. Dies ist aber der vorstehenden Entwickelung 

 zufolge die allgemeinste Art und Weise des Bestehens der Glei- 

 chungen (D), oder mit anderen "Worten, die allgemeinste Art und 

 Weise für die Reihe der Grössen c eine lineare Recursionsformel 

 aufzustellen, welche vom Anfang an emal hinter einander Geltung 

 hat und daher höchstens cter Ordnung ist (vgl. den Schluss des 

 Art. III). Es giebt also keine andern, i^mal nach einander auf die 

 Grössenreihe c , c l5 c 2 , ... anwendbaren Recursionsformeln als solche, 

 die aus der Recursionsformel Xter Ordnung (K) entstehen, wenn 

 darin für r eine Anzahl aufeinanderfolgender Werthe genommen, 

 jede der bezüglichen Formeln mit einem beliebigen Coefficienten 

 multiplicirt und alsdann ein Aggregat aus allen diesen Formeln 



