578 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



weise. Ist aber \x < c, so kann die gegebene Grössenreihe c , c l , 



... c 2 .,-i i n ganz beliebiger Weise, wie scbon oben im Art. XI bei 



den Bedingungen (K") ausgeführt ist, bis zum 2(jj.-\-v — ?. + l)ten 



Gliede fortgesetzt werden, um aus diesen 2(u + i' — X + 1) 



C° n) (x) 

 Coefficienten c einen Bruch _. w N zu bilden, dessen Nenner vom 



D m > (x) 



Grade m = y.-\-v — X + 1 ist, und in dessen Entwickelung nach 

 fallenden Potenzen von x jene 2v Grössen c die ersten 2v Coeffi- 

 cienten sind. Der Nachweis , dass es keinen Bruch mit einem 

 Nenner von niedrigerem Grade giebt, der die verlangte Eigenschaft 

 besitzt, kann darauf gestützt werden, dass nach den Bedingungen 

 (G (m) ) im Art. IX, wenn der Nenner vom mten Grade sein soll, 

 die Determinante 



\c i+k \ (l,-k = 0,l,...m-l) 



von Null verschieden sein, und dass ferner gemäss der ersten Be- 

 stimmungsweise im Art. VII eine lineare Recursionsformel mter 

 Ordnung für alle Grössen c bestehen müsste. Da nämlich auf 

 Grund der Bedingungen (K") im Art. XI alle Determinanten | c i+k \ 

 für Werthe von wi, die zwischen X und \j. -+• u — ~/.-\-l liegen, gleich 

 Null sind, so könnte, wenn m < _jw. rhu — X -+■ 1 sein soll, nur m = ?. 

 sein, während auf Grund der zweiten Art der Charakterisirung 

 der Grössen c im Art. XI die lineare Recursionsformel /.ter Ordnung 

 nicht für alle 2u Glieder der Reihe c, sondern nur für die ersten 

 \j. -+- v derselben Geltung hat. 



Die Zahl m- + v — /• giebt an, wie vielmal nacheinander die 



Recursionsformel /.ter Ordnung auf die Grössenreihe c anwendbar 



ist; man kann also das obige Resultat folgen dermassen formuliren: 



„Der niedrigste Grad des Nenners eines Bruches, dessen 



Entwickelung nach fallenden Potenzen von x mit 



CqX" 1 + c x x~ 2 + ••■ + c 2[) _ 1 x~ 2 - 



beginnt, bestimmt sich durch jene mindestens /'mal nach- 

 einander anwendbare Recursionsformel, welche nach Art. XI 

 einer jeden Grössenreihe c , c y , ... c 2; ,-i zugehört; und zwar 

 ist der Grad gleich der Ordnung der Recursionsformel, 

 wenn dieselbe für alle 2 1; Grössen c besteht, wenn dies 

 aber nicht der Fall ist, so ist der Grad gleich derjenigen 

 Zahl, welche angiebt, wie vielmal nacheinander die Recur- 

 sionsformel Anwendung findet." 



