vom 16. Juni 1881. 583 



aus der Gleichung (F) im Art. VIII mit Berücksichtigung der Vor- 

 aussetzung, dass die aus den ersten X Horizontal- und Verticalreihen 

 der Grössen c i+k gebildete Determinante von Null verschieden ist. 

 Hiernach ist es jene einfache im Art. VIII entwickelte 

 Determinanten -Umformung allein, welche in der Glei- 

 chung (0) die vollständige Lösung der Aufgabe enthält, 

 die der Gleichung (C) genügenden Functionen F, $ , "V 

 durch die ersten 2v Coefficienten der Entwickelung von 



—7-— auszudrucken. 



XIV. 



Vergleicht man die am Schlüsse des vorigen Abschnittes ge- 

 gebene Bestimmung für eine der Gleichung (C) genügende Function 

 i/ten Grades "i(x) mit derjenigen, welche am Schlüsse des Art. I 



f (x) — 



auf Grund der Kettenbruchsentwickelung von * ., bei (C) formu- 



/O) 

 lirt worden ist, so gelangt man zu dem Ergebniss, dass, wenn v 

 zwischen den beiden Zahlen 



n k — 1 und n k+l 

 liegt, das Product 



eine beliebige durch den Nenner des kten Näherungsbruches v^C*) 

 theilbare ganze Function darstellen muss, für welche der Grad des 

 Quotienten kleiner als jeder der beiden Abstände der Zahl v von 

 den beiden Grenzen n k — 1 und n k+1 ist. Es kann hiernach \x — X 

 nur genau um eine Einheit kleiner als der kleinere dieser beiden 

 Abstände sein, und D^(x) kann sich nur durch einen constanten 

 Factor von 4^ (x) unterscheiden. Demgemäss ist 



* = n k , 

 also, wenn mit r, k der Coefficient der höchsten Potenz von x in 

 •^ k {x) bezeichnet wird, 



(P) ^.D (X) W = | c h+i | . ^ h (x) ( M = o,i,...X-i), 



und 



für v<\(n k + n k+A ) , \x — ?. = u— n k also \x = v , 



für >'=i(w A . + w Ä+1 ) , p— X = n k+l — u — l also f* = n k -j r n k+1 —v—l. 



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