586 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



wenn der Werth der Reihe nicht rational ist, da ja an deren Stelle, 

 wenn die Übereinstimmung der Ordnungszahlen n x , n 2 , ... bis zu 

 einer bestimmten Zahl n nachgewiesen werden soll, die Reihe ge- 

 nommen werden kann, in welche einer der Näherungsbrüche höherer 

 Ordnung zu entwickeln ist, d. h. ein solcher, deren Nenner von 

 höherem Grade als n a ist. 



XV. 



Die im vorigen Abschnitte aus der allgemeinen und vollstän- 

 digen Auflösung des Gleichungssystems 



(D) X ß p C p+q = (p = 0,l;...v;q = 0,l,...v-l) 



p 

 entwickelten Resultate können auch schon aus den einfachsten 

 Fällen, wo v gleich einer der Zahlen n k ist, erschlossen werden, 

 wenn man jene Fundamentalgleichung (F) im Art. VIII zu Hülfe 

 nimmt, die überhaupt bei der Vergleichung der aus dem Ketten- 

 bruchsverfahren und der aus der Auflösung der linearen Gleichun- 

 gen (D) resultirenden Bestimmungen die wesentliche Grundlage 

 bildet. 



Das Gleichungssystem (D) enthält, wie schon am Schlüsse 

 des III. Abschnittes dargelegt ist, die nothwendigen und hinreichen- 

 den Bedingungen dafür, dass der Rest der Division von 



f 1 (x)Xß p X p (j>=0,l,...i/) 



p 

 durch f(x) höchstens vom Grade n — u — 1 sein soll. Eine dieser 

 Forderung entsprechende Function Xß p x p kann sich aber, wenn 

 " — n k ^ s *5 nach Art. I von 4 / k( x ') nur durch einen constanten 

 Factor unterscheiden, und es ergiebt sich daher, dass die Verhält- 

 nisse der Coefficienten ß durch die der Coefficienten von ^ k (x) 

 völlig bestimmt sind, dass also die dem Coefficienten von x n k pro- 

 portionale Determinante 



| Ch-\-i I (A, i= , 1 , ... m— 1; m = n k ) 



von Null verschieden und, wie im vorigen Abschnitte, 



(P) »?*D flB) (*) = \c hH \¥ k (x) (h,i = 0,l,...rn-l;m=n k ) 



sein muss, wenn, wie a. a. O., r /} k den Coefficienten der höchsten 

 Potenz von x in ^ k (x) bedeutet. Da nun gemäss der Gleichung 

 (F") im Art. VIII zwischen den Determinanten C bn) (x) und D {m) (x) 

 die Relation 



