590 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



in der That wesentliche Eigenschaft linearer Recursionsformeln 

 festhält, jene frühere im Art. III aufgestellte, an die Anzahl der 

 Glieder der Reihe anknüpfende Forderung aber fallen lässt, so 

 findet das Problem der Aufstellung aller linearen Recursionsfor- 

 meln für die Reihe der durch die Gleichung (C") im Art. III und 

 im Art. XIII 



definirten Entwickelungscoefficienten c gemäss dem Inhalte des 

 vorigen Abschnittes folgende Lösung: 



Sind «i , n 2 , n 3 , ..., wie im Art. I, als die verschiedeneu 



f (%) 

 Grade der Näherungsbrüche von — — — oder auch, wie im 



/O) 

 Art. XIV (R), als Ordnungszahlen gewisser aus denCoefficien- 

 ten c gebildeten Determinanten definirt, so existiren erstens 

 (U) primitive lineare Recursionsformeln nur von eben diesen 

 Ordnungen n x , n 2 , n 3 , ... , zweitens aus jeder primitiven 

 Recursionsformel der Ordnung n k abgeleitete der Ordnun- 

 gen Wj. + 1 , % + 2 , ... mit der einzigen Bedingung, dass 

 diese Ordnung kleiner als ^(n k -+- n k+ ^) bleibt. Jede die- 

 ser Recursionsformeln der Ordnungen n k , n k -+- 1 , % -+- 2 , ... 

 gilt bis zum (n k -+- n k+1 — l) ten Gliede der Reihe c , c x , c 2 , ... . 

 Offenbar erhält man nämlich die Gesammtheit der linearen Recur- 

 sionsformeln von der Eigenschaft (T), wenn man, um der Reihe 

 nach die Recursionsformeln erster, zweiter, dritter Ordnung u. s.w. 

 aufzustellen, für alle Werthe v = 1,2,3,... die dem Gleichungs- 

 systeme (D) im Art. III 



Xß p c p+q = (p=0,l,...v; s = 0,l,...i;-l) 



v 



gemäss der Formel (M) im Art. XI genügenden Werthsysteme von 

 ß , ß x , ... ß v bestimmt, hiervon aber nur diejenigen beibehält, für 

 welche \x = u ist, da vermöge der erwähnten Formel jedes ß, 

 dessen Index grösser als \j. ist, gleich Null wird, und die Erfüll- 

 barkeit des Gleichungssystems (D), mit der Bedingung /3 V ^0, not- 

 wendig und hinreichend für die Existenz einer linearen Recursions- 

 formel vtev Ordnung mit der Eigenschaft (T) ist. Nun ist nach 

 den Erörterungen im Eingange des XIV. Abschnittes für alle 

 zwischen n k — 1 und ^( n k~^~ n k+i) liegenden Werthe von v, und 

 zwar nur für diese, \k == v\ es ist ferner für alle zwischen n k — 1 



