vom Iß. Juni 1881, 591 



und n k+ i liegenden Werthe von v der Werth von ?., d. h. die Ord- 

 nung der primitiven Recursionsformel gleich n k , und der Werth 

 von \x -\- v d. h. nach Art. XI die Anzahl der Glieder, für welche 

 die primitive Recursionsformel Geltung hat, ist — wie schon im 

 Eingange dieses Abschnittes bemerkt worden — gleich n k •+■ n k+l — 1, 

 wenn v = n k+l — 1 oder wenn v überhaupt nur grösser als 

 ^{n k + n k+1 — 1) genommen wird. 



Der Bedeutung von n x nach sind die ersten n A — 1 Coefficien- 

 ten c, deren Index also kleiner als n x — 1 ist, gleich Null. Die 

 Reihe der Zahlen ?i 1 , n 2 , n 3 , ... selbst schliesst mit derjenigen Zahl 

 ab, welche den Grad des Nenners des reducirten Bruches angiebt, 

 dessen Reihenentwickelung Xc h x~ h ~ i ist. 



Das oben durch die Bezeichnung (U) hervorgehobene Resultat 

 knüpft zwar an die Bedeutung der Grössen c als Coefficienten der 

 Reihenentwickelung einer rationalen Function nach fallenden Po- 

 tenzen von x an, giebt aber offenbar alle linearen Recursionsformeln 

 für eine ganz beliebige Reihe von Grössen 



da diese stets als die ersten 2 n Coefficienten der Entwickelung einer 



rationalen Function von x, z.B. von c Q x~~ l + c±x~' i -+- 1- c 2 m— 1 %~~ 2n 



selbst, aufgefasst werden können. Um jenes Resultat in der ein- 

 fachsten Weise für eine beliebige Reihe von 2n Grössen c zu be- 



nutzen, hat man nach den Ausführungen im Art. XII für l einen 



1 \ x ) 

 Bruch zu nehmen, dessen Zähler C M (x) und dessen Nenner D^ m \x) 

 gewisse aus den gegebenen Grössen c gebildete Determinanten- 

 Ausdrucke sind. Dieser Bruch hat die Eigenschaft, dass seine 

 Entwickelung nach fallenden Potenzen von x mit 



CqX ~\~ C\X ~t~ *** ~l ^271 1 ^ 



beginnt, und dass dabei der Nenner Z) (m) (x) von möglichst niedri- 

 gem Grade ist. Die Aufstellung aller linearen Recursionsformeln 

 für beliebige Grössen c , Cj , c 2 , ... kann jedoch auch, ohne die Auf- 

 fassung derselben als Entwickelungscoef'ficienten zu Hülfe zu neh- 

 men, in directer Weise erfolgen, wie im nächsten Abschnitte dar- 

 gelegt werden soll. 



