592 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



XVII. 



Bezeichnet man mit n Y — 1 die Anzahl derjenigen aufeinander- 

 folgenden Grössen c , c x , c 2 , ... , welche gleich Null sind, so dass 

 die erste von Null verschiedene Grösse c den Index n x — 1 hat, so 

 leuchtet unmittelbar ein, dass sich für die ersten 2 n x Grössen c eine 

 lineare Recursionsformel Wjter Ordnung 



(V) c w+9 + 2/3 C + = (p, 9 = 0,1, ...«,-!) 



p 



aufstellen lässt, welche überdies primitiv sein muss. Da diese 

 Recursionsformel noch weiter, d. h. also noch über den Werth 

 q-=n x — 1 hinaus Geltung haben, kann, so sei n 2 — 2 der letzte 

 dieser "Werthe, so dass also die Recursionsformel der Ordnung n x 

 genau bis zum (n ± + n 2 — l)ten Gliede hin Geltung behält. Dies 

 vorausgesetzt, muss die nach Art. XI für die ersten iv Grössen c 

 aufzustellende primitive lineare Recursionsformel, so lange v kleiner 

 als n 2 ist, eben jene Formel (V) sein, da dieselbe ja alsdann die 

 im Art. XI enthaltene Bedingung, von Anfang der Reihe c an min- 

 destens i'mal hinter einander anwendbar zu sein, d. h. also für 

 q = 0, 1, ... v — 1 Geltung zu behalten, auf Grund der hier festge- 

 setzten Bedeutung von n 2 offenbar erfüllt. Wäre nun auch für 

 v = n 2 die nach Art. XI für die ersten 2 v Grössen c aufzustellende 

 primitive Recursionsformel von einer Ordnung A'<?2 2 > so müsste 

 eben dieselbe Recursionsformel den ersten 2 A' Grössen c angehören; 

 da aber jedem Werthe ?.'■<. n 2 , wie soeben nachgewiesen worden, 

 die Recursionsformel Ater Ordnung (V) angehört, diese jedoch nur 

 n 2 — 1 mal nach einander Geltung hat, also die Bedingungen des 

 Art. XI für eine zu den ersten 2n 2 Grössen c gehörende Recur- 

 sionsformel nicht erfüllt, so kann die Ordnung dieser Recursions- 

 formel nicht kleiner als n 2 , sondern muss gleich n 2 sein. Die 

 Zahl n 2 erhält hiernach die fernere Bedeutung, die nach ttj nächst- 

 grössere Ordnung einer für die Grössen c bestehenden primitiven 

 linearen Recursionsformel zu sein. Wird nunmehr die Recursions- 

 formel ftjjter Ordnung 



(V) °n 2 +q+ Zß'pCp+q = (i>, 9 =0,l,...« 2 -l), 



P 



welche wiederum primitiv sein muss, aufgestellt und der äusserste 

 Werth q = n 3 — 2, bis zu welchem sie Geltung behält, ermittelt, 

 so erweist sich wie oben die Zahl n 3 zugleich als die auf n 2 fol- 



