vom 16. Juni 1881. 593 



gende Ordnungszahl der für die Grössen c bestehenden primitiven 

 Recursionsformeln. Auf dieselbe Weise weiter schliessend gelangt 

 man also direct zu folgendem Resultate: 



"Wenn die Ordnungen der verschiedenen primitiven linearen 

 Recursionsformeln, welche für die Grössenreihe c , Ci,c. 2 , ... 

 bestehen, mit ?i 1 , n 2 , n 3 , ... bezeichnet werden, und zwar 

 so dass n 1 <n 2 ■< n 3 <. ... ist, so bleibt die Recursions- 

 formel n k ter Ordnung genau n k+1 — lmal nach einander 

 anwendbar und hat also für die ersten n k -+- n k+1 — 1 Glie- 

 der der Reihe, aber auch nicht weiter, Geltung. 

 Dass eben dieselben Zahlen n-^ , n 2 , n 3 , ... zugleich die Grade der 



Nenner der Näherungsbrüche der Reihe CqX" 1 + c^t -2 -\ angeben, 



dass also das hier entwickelte Resultat mit demjenigen, welches 

 im vorhergehenden Abschnitte bei (U) formulirt worden ist, völlig 

 übereinstimmt, geht aus der bekannten, schon am Schlüsse des 

 III. Abschnittes erwähnten Eigenschaft der Näherungsbrüche hervor, 



vermöge deren die Entwicklung von . k nach fallenden Potenzen 

 von x die ersten n k -{- n k+1 — 1 Glieder mit der des folgenden Nähe- 

 rungsbruches . * +1 ". . , und also auch mit der Reihe c .£ -1 + CiX~~ 2 



+ Co«' 3 + ••■ selbst gemein hat, so dass die primitive lineare Re- 

 cursionsformel n k ter Ordnung, durch welche die Coefficienten der 



Reihenentwickelung des Näherungsbruches . fc charakterisirt sind, 



für die ersten n k -j-n k+1 — 1 Coefficienten der Reihe c ^ _1 + c 1 «^ 2 

 + c 2 x~ 3 -+- ••• selbst Geltung hat. 



Bei einer Grössenreihe c , Ci , c 2 , ... der oben bezeichneten 

 Art, d.h. bei einer solchen, für welche die Zahlen n v , n 2 , ... n r 

 die Ordnungen der primitiven linearen Recursionsformeln angeben, 

 sind die ersten n r — 1 Glieder gleich Null, und für jede Zahl k sind 

 die n k+l — n k — 1 Glieder mit den Indices 2n k , 2n fc -t-l, ... , 

 n k + n k+1 — 2 durch die vorhergehenden bestimmt; es sind also, da 

 die Gesammtzahl 2n ; . beträgt, 



2n r — (wj — l) — (?? 2 — ?h — l) — ••• — (n r — n r _-y — 1) 



d.h. »,. + r Glieder der Reihe c von einander unabhängig, und 

 diese Zahl ist genau gleich der Gesammtzahl der Coefficienten der 

 verschiedenen Potenzen von x in den r Theilnennern g x , g.> , ... g r 



