594 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klause 



bei der Kettenbruchsentwickelung der Reihe CqX" 1 -+- c^x"- -+- c 2 # -3 



H , da hierbei der Grad von g k (vgl. Art. I) durch die Zahl 



n k — n k _ l ausgedrückt wird. 



XVJII. 



Stellt eine Reihe CqX~~ 1 -+- c^x"'* -+- c 2 x~ z ■+- ••• eine rationale 

 Function von x und also einen endlichen Kettenbruch mit den 

 Theilnennern g x , g 2 , ... g r dar, so stehen mit derselben alle die- 

 jenigen nach fallenden Potenzen von x fortschreitenden Reihen, 

 welche Kettenbrüche mit eben denselben Theilnennern g x , g 2 , ... g r 

 — diese in irgend einer anderen Folge genommen — darstellen, 

 in bemerkenswerther Beziehung. Versteht man unter i 1 , ü , ... i r 

 die Zahlen 1 , 2 , ... r in irgend einer anderen Folge, d. h. also 

 irgend eine andere Permutation der Zahlen 1, 2, ... r, so drücken 

 die Gleichungen 



v e-jar* = - l , X c« x~ h = — 1 



(W)ä=i 9l ~g~ -..._L h=x 9h~g7_.._ J_ 



ffr 9i r 



eine Beziehung der angegebenen Art zwischen den Coefficienten c 

 und c w aus, und es kann dies als eine Beziehung zwischen den 

 beiden Reihen von je 2m Grössen 



c , Ci , ... c 2m _i ; c Q , c x , ... c 2to — i 



aufgefasst werden, wenn m den Grad des Products g 1 g 2 ...g r d. h. 

 also den Grad des nothwendigen Nenners bei der Darstellung bei- 

 der Kettenbrüche durch einfache Brüche bedeutet, da nach Art. IX 

 die folgenden Coefficienten jeder der beiden Reihen in den Gleichun- 

 gen (W) durch die 2m ersten rational darstellbar sind. Um von einer 

 beliebigen Reihe von 2m Grössen c , c : , ... c 2m _ 1 ausgehend die ent- 

 sprechende Reihe c^ , c{ 1 ^ , ... c 2 m-i zu erhalten, hat man daher nur 



C {m) (x) 

 sremäss Art. VIII aus jenen 2m Grössen c den Ausdruck - , , — - 



zu bilden, diesen in einen Kettenbruch zu entwickeln und alsdann 

 den Kettenbruch mit eben denselben, aber in der vorgeschriebenen 

 Weise permutirten Theilnennern in eine Reihe nach fallenden Po- 

 tenzen von x zu transformiren; die ersten 2 m Coefficienten dieser 

 Reihe sind dann die den 2m Grössen c entsprechenden. Übrigens 



